范畴论系列（一）初识范畴

起因

写这个系列起源于自己学习编程语言时遇到的问题，研究编程语言不可避免要与数学打交道，自己大学只学过数学分析和高等代数等数学系一年级课程，PLT (Programming Language Theroy) 需要的数学基础大致为：抽象代数（Abstract Algebra）、拓扑（Topology）、范畴（Category Theory） 等代数知识，在阅读相关 PL 书籍时，深感自己的无力。我又是一个 " 死磕 " 的人，万事都要问个为什么，遇到不懂之处模糊跳过总觉得 " 不舒服 "，于是乎，数学基础的补足是 " 迫在眉睫 "。有人可能会 " 杠精 " 一下：你说得这些我也不懂啊，代码照样写得好好地，不妨碍我升职加薪。关于程序员编程语言理论学习的重要性，我是这么理解得：编程语言发展这么多年，从大家熟悉的汇编，到 C 语言、C#、C++、JAVA、GO、Dart、Javascript、Python、Dart、Rust…（大家以为我在报菜名）几乎每过个几年，就会有一次编程语言的 " 大浪潮 "。如果你无法快速学习，可能就会被无情 " 内卷 " 到死。为了生存下去，掌握一套编程语言方法论至关重要：任何具体的编程语言知识都要内化到自己建立的抽象框架之内，我所找到的就是数学。这有点类似于编译器里中间语言的概念，数学是中间语言，PLT 是编译器前端，具体的编程语言就是我们需要理解的对象。OK，言归正传，让我们开始范畴论的学习之旅吧！

学习参考资源

国内关于范畴论的中文视频我只在 B 站上找到清华大学关于范畴论的讨论班，英文视频比较丰富，大家可以自行搜寻。这里主要说下参考书籍：

Abstract and concrete category：The Joy of Cats
Saunders Mac Lane - Categories for the Working Mathematician-Springer (2010)
(Sigma Series in Pure Mathematics) Horst Herrlich, George Strecker - Category Theory. 1-Helderman Verlag (2007)
Horst Herrlich, George Strecker - Category Theory. 1-Helderman Verlag (2007)
Emily Riehl - Category Theory in Context-Dover Publications (2017)
Category Theory for Programmers -- Bartosz Milewski (2019)

这些书籍里程序员好上手的是 Category Theory for Programmers 这本，里面所有概念都会用 Haskell、Scala、C++ 讲解。Emily Riehl 这本个人认为写得不错，不过数学概念很多，里面的例子都是群、环、域、线性空间、拓扑空间等，非数学系人士会很艰难。本系列可以看作是 The Joy of Cats 部分章节的读书笔记，只介绍范畴论的基础知识。

公理集合论

关于公理集合论的介绍，其实我很纠结，一方面是内容繁多，涉及数理逻辑证明，寥寥几句解释不清楚。另一方面范畴论研究的数学对象往往比集合大得多，为了避免悖论，大家会从 Russell Paradox 切入，引入 Class 的概念；或者使用 Grothendieck Universe 来允许我们在朴素集合论的框架内表达范畴论的一些基本概念，而不引入类的概念。为了叙述的连贯性考虑，这里简单介绍一些集合论的知识，读者不必担心，很好理解。

集合

集合是一个数学对象，下面给出集合的构造方法：

特定性原理： 假设 A 是一个集合，P 是 A 满足的某个性质，则 $ {a \in A \mid P(a)} $ 是一个集合。
幂集： 假设 A 是一个集合，则 $ {A' \mid A' \subseteq A} $ 是一个集合，称为 A 的幂集。
其他集合的构造： 对于集合 A 和 B，我们能构造如下集合：
- (a) 两个元素的集合：{A, B}，表示集合包含元素 A 和 B 的集合。
- (b) 有序对 (A, B)，表示按照顺序排列的元素对，即元素 A 在前，元素 B 在后。
- (c) 集合的交：$ A \cap B $，表示同时属于集合 A 和 B 的元素组成的集合。
- (d) 集合的并：$ A \cup B $，表示属于集合 A 或者属于集合 B 的元素组成的集合。
- (e) 集合的相对补（差）：$ A \setminus B $ 或 $ A - B $，表示属于集合 A 但不属于集合 B 的元素组成的集合。
- (f) 笛卡尔乘积：$ A \times B $，表示由所有形式为 $(a, b)$ 的有序对组成的集合，其中 $a \in A$ 且 $b \in B$。

这些构造方法在集合论中是常见且基础的。很容易地，我们可以推广到针对 " 任意多个 " (指定一个指标函数 $f:I\to \uplus_{i\in I} A_i$，I为指标集) 集合的相关构造，这里不再赘述。

一个小思考：
所有集合的集合符合集合的定义吗？

参考思路：一个集合的幂集总是大于该集合

类

类是一个数学对象，拓展了集合的概念，集合是一个特殊的类，不是集合的类称之为真类 (Proper Class)，前面关于集合的构造描述都可以扩展到类。关于真类，下面是具体的例子：

全体集合： 可以定义全体集合，即所有集合的集合。通常表示为 $\mathbf{V}$ 或 $\mathbf{S}$。
$$\mathbf{V} = \{ x \mid x = x \}$$
这个集合包含所有的数学对象，是一个真类。
所有 Ordinal 数的集合： 可以定义所有 Ordinal 数的集合。
$$\mathbf{On} = \{ \alpha \mid \alpha \text{ 是一个 Ordinal 数} \}$$

* Ordinal 数

在 Zermelo-Fraenkel 集合论中，Ordinal 数是一种数学对象，用于表示集合的排列顺序。Ordinal 数的定义基于集合论的递归构造。

定义

零（0）是一个 Ordinal 数：
- $0$ 表示空集的排列顺序。
后继 Ordinal 数 $(\alpha + 1)$ 是一个 Ordinal 数：
- 如果 $\alpha$ 是一个 Ordinal 数，那么 $(\alpha + 1)$ 表示在 $\alpha$ 的基础上添加一个元素的排列顺序。
极限 Ordinal 数是一个 Ordinal 数：
- 如果 $S$ 是一个非空的集合，对于每个 $\beta \in S$，都有 $\beta$ 是一个 Ordinal 数，那么 $\sup(S)$（即 $S$ 的上确界）也是一个 Ordinal 数。

性质

整体性质：
- 如果 $\alpha$ 是一个 Ordinal 数，则 $x \in \alpha$ 当且仅当 $x$ 是排在 $\alpha$ 之前的某个元素。
递归性质：
- 对于任意 Ordinal 数 $\alpha$，集合 $\alpha$ 是由排在 $\alpha$ 之前的所有 Ordinal 数构成的。
良序性质：
- 集合 $\alpha$ 被良序，即对于 $\beta, \gamma \in \alpha$，要么 $\beta \in \gamma$，要么 $\beta = \gamma$，要么 $\gamma \in \beta$。

例子

$0, 1, 2, 3, \ldots$ 是自然数构成的 Ordinal 数序列。
$\omega$ 表示所有自然数的集合，是第一个无穷的 Ordinal 数。
$\omega + 1, \omega + 2, \ldots$ 是无穷序列中的后继 Ordinal 数。
$\omega \cdot 2, \omega \cdot 3, \ldots$ 表示 $\omega$ 的倍数，是无穷序列中的极限 Ordinal 数。

Ordinal 数在集合论中用于描述集合的次序结构，特别是在处理序数性质和集合的良序性时起到关键作用。

范畴

范畴的定义

一个范畴是由四元组 $\mathbf{A}= (O, \text{hom}, \text{id}, \circ)$ 组成的数学结构，其中：

类 (O) 它的成员被称为 $\mathbf{A}$ - 对象（A-objects）。
对于每一对 $\mathbf{A}$ - 对象 (A, B)： 存在一个集合 $\text{hom}(A, B)$，其成员被称为 $\mathbf{A}$ - 态射（A-morphisms），通常用箭头表示，例如 $f: A \to B$ 表示 f 是从 A 到 B 的态射。
每个$\mathbf{A}$ - 对象A： 存在一个态射 $\text{id}_A: A \to A$，称为 $\mathbf{A}$ - 恒等态射。
一个与每一对 $\mathbf{A}$ - 态射 $f: A \to B$ 和 $g: B \to C$ 相关的合成法则： 存在一个态射 $g \circ f: A \to C$，称为 f 和 g 的复合，满足以下条件：
- (a) 复合是结合的，即对于任意态射 $f: A \to B, g: B \to C, h: C \to D$，等式 $h \circ (g \circ f) = (h \circ g) \circ f$ 成立。
- (b) 恒等态射作为复合的单位元，即对于任意态射 $f: A \to B$，有 $\text{id}_B \circ f = f$ 和 $f \circ \text{id}_A = f$。
- (c) 任意两个态射集合 $\text{hom}(A, B)$ 和 $\text{hom}(C, D)$ 是两两不相交的。

为了表示的方便，范畴 A 中所有的对象用 Obj ($\mathbf{A}$) 表示，所有的态射用 Mor ($\mathbf{A}$) 表示，有时为了特指某个范畴的态射集，明确指出态射集的下标：$hom_\mathbf{A}(A,B)$。如果 Obj ($\mathbf{A}$) 是一个集合，Mor ($\mathbf{A}$) 也是一个集合，我们称范畴 $\mathbf{A}$ 是小 (small) 的；如果只满足 Mor ($\mathbf{A}$) 是集合，那么这个范畴是局部小的 (local-small)。

范畴的例子

1. Category Set (集合范畴）

对象类 $O$: 所有集合的类。
态射集合 $hom(A, B)$: 所有从集合 $A$ 到 $B$ 的函数的集合。
恒等态射 $id_A$: 在集合 $A$ 上的恒等函数。
复合 $\circ$: 常规的函数复合。

2. 结构化集合与结构保持映射的范畴

(a) Vec（向量空间范畴）

对象类 $O$: 所有实数向量空间。
态射集合 $hom(V, W)$: 所有线性变换从向量空间 $V$ 到 $W$。
恒等态射 $id_V$: 向量空间 $V$ 上的恒等线性变换。

(b) Grp（群范畴）

对象类 $O$: 所有群。
态射集合 $hom(G, H)$: 所有群同态从群 $G$ 到 $H$。
恒等态射 $id_G$: 群 $G$ 上的恒等群同态。

对象类 $O$: 所有拓扑空间。
态射集合 $hom(X, Y)$: 所有连续函数从拓扑空间 $X$ 到 $Y$。
恒等态射 $id_X$: 拓扑空间 $X$ 上的恒等连续函数。

(d) Rel（关系范畴）

对象类 $O$: 所有二元关系 $ (X, \rho) $ ，其中 $X$ 是一个集合，$\rho$ 是 $X$ 上的二元关系。
态射 $f: (X, \rho) \to (Y, \sigma)$: 关系保持映射，即 $f: X \to Y$，使得对于任意 $x, x' \in X$，若 $x \rho x'$，则 $f(x) \sigma f(x')$。
恒等态射 $id_{(X, \rho)}$: 即集合 $X$ 上的恒等关系保持映射。

(e) Σ-Seq (状态机范畴）

在Σ-Seq 范畴中，对象是所有（确定性、顺序）Σ-acceptors，其中Σ是输入符号的有限集。对象是四元组 $(Q, \delta, q_0, F)$，其中 $Q$ 是状态的有限集， $\delta: \Sigma \times Q \to Q$ 是状态转移映射， $q_0 \in Q$ 是初始状态， $F \subseteq Q$ 是终态的集合。

一个态射（称为模拟）$f: (Q, \delta, q_0, F) \to (Q', \delta', q'_0, F')$ 是一个函数 $f: Q \to Q'$，它保持以下条件：

(i) 状态转移关系：对于任意 $\sigma \in \Sigma$ 和 $q \in Q$，都有 $\delta'(\sigma, f(q)) = f(\delta(\sigma, q))$。
(ii) 初始状态：$f(q_0) = q'_0$。
(iii) 终态：$f[F]\subseteq F'$。

这样的模拟确保了在Σ-Seq 范畴中每个对象都有一个与之相关的态射，同时保持了复合法则。

3. 对象构造

在构造中，一旦对象被定义，往往就清楚了态射应该是什么。然而，并非总是如此。例如：

(a) Metric Spaces

$\text{Met}$（度量空间范畴）： 所有度量空间为对象，态射为所有非扩张映射（即收缩映射）。
$\text{Met}_u$（度量空间范畴）： 所有度量空间为对象，态射为所有一致连续映射。
$\text{Met}_c$（度量空间范畴）： 所有度量空间为对象，态射为所有连续映射。

(b) Banach Spaces

$\text{Ban}$（巴拿赫空间范畴）： 所有巴拿赫空间为对象，态射为所有线性收缩映射。
$\text{Ban}_b$（巴拿赫空间范畴）： 所有巴拿赫空间为对象，态射为所有有界线性映射（即连续线性映射、一致连续线性映射）。

4. 不同结构的范畴

在下列范畴中，对象和态射不是结构化集合和保结构函数：

(a) Mat 范畴

Mat（矩阵范畴）： 所有自然数为对象，而 $\text{hom}(m, n)$ 是所有实数 $m \times n$ 矩阵的集合，$\text{id}_n$ 是单位对角线 $n \times n$ 矩阵，矩阵的复合定义为 $A \circ B = BA$，其中 $BA$ 表示矩阵的通常乘法。

(b) Aut 范畴

Aut（自动机范畴）： 所有（确定性、顺序、Moore）自动机为对象，对象是六元组 $(Q, \Sigma, Y, \delta, q_0, y)$，其中 $Q$ 是状态的集合，$\Sigma$ 和 $Y$ 是输入和输出符号的集合，$\delta: \Sigma \times Q \to Q$ 是过渡映射，$q_0 \in Q$ 是初始状态， $y: Q \to Y$ 是输出映射。从自动机 $(Q, \Sigma, Y, \delta, q_0, y)$ 到自动机 $(Q', \Sigma', Y', \delta', q'_0, y')$ 的态射是函数 $f_Q: Q \to Q'$，$f_\Sigma: \Sigma \to \Sigma'$ 和 $f_Y : Y \to Y'$，满足以下条件：
- （i）保持过渡：$\delta'(f_\Sigma(\sigma), f_Q(q)) = f_Q(\delta(\sigma, q))$，
- （ii）保持输出：$f_Y(y(q)) = y'(f_Q(q))$，
- （iii）保持初始状态：$f_Q(q_0) = q'_0$。

Classes as Categories（类作为范畴）： 每个类 $X$ 给出一个范畴 $C(X) = (O, \text{hom}, \text{id}, \circ)$，其中 $O = X$，$\text{hom}(x, y) = \emptyset$ 如果 $x \neq y$，$\text{hom}(x, y) = {x}$ 如果 $x = y$，$\text{id}_x = x$，且 $x \circ x = x$。$C(\emptyset)$ 被称为空范畴，$C({0})$ 被称为终结范畴。

(d) 预序类作为范畴

Preordered Classes as Categories（预序类作为范畴）： 每个预序类，即每对 $(X, \leq)$，其中 $X$ 是类，$\leq$ 是 $X$ 上的自反且传递的关系，给出一个范畴 $C(X, \leq) = (O, \text{hom}, \text{id}, \circ)$，其中 $O = X$，$\text{hom}(x, y) = {(x, y)}$ 如果 $x \leq y$，否则为 $\emptyset$，$\text{id}_x = (x, x)$，且 $(y, z) \circ (x, y) = (x, z)$。

(e) 幺半群作为范畴

Monoids as Categories（幺半群作为范畴）： 每个幺半群 $(M, \cdot, e)$，即每个具有单位 $e$ 的半群 $(M, \cdot)$，给出一个范畴 $C(M, \cdot, e) = (O, \text{hom}, \text{id}, \circ)$，其中 $O = {M}$，$\text{hom}(M, M) = M$，$\text{id}_M = e$，且 $y \circ x = y \cdot x$。

(f) 乘积范畴

Product Category（乘积范畴）： 对于任意两个范畴 $A$ 和 $B$，可以构建 $A \times B$，或更一般地，对于有限多个范畴 $C_1, C_2, \ldots, C_n$，可以构建 $C_1 \times C_2 \times \ldots \times C_n$。$A \times B$ 的对象是所有集合对 $(A, B)$，从 $(A, B)$ 到 $(A', B')$ 的态射是所有形如 $(f, g)$ 的函数对，其中 $f: A \to A'$ 且 $g: B \to B'$。恒等态射由 $(\text{id}_A, \text{id}_B)$ 给出，而复合由 $(f_2, g_2) \circ (f_1, g_1) = (f_2 \circ f_1, g_2 \circ g_1)$ 定义。

对偶原理

定义 :

对于任何范畴 $A = (O, \text{hom}_A, \text{id}, \circ)$，其对偶（或反范畴）记作 $A^{op} = (O, \text{hom}_{A^{op}}, \text{id}, \circ^{op})$，其中 $\text{hom}_{A^{op}}(A, B) = \text{hom}_A(B, A)$，且 $f \circ^{op} g = g \circ f$。这意味着 $A$ 和 $A^{op}$ 有相同的对象，唯一的不同在于它们的态射的方向。

例子 :

如果 $A = (X, \leq)$ 是一个预序类，被视为一个范畴，那么 $A^{op} = (X, \geq)$。
如果 $A = (M, \cdot, e)$ 是一个幺半群，被视为一个范畴，那么 $A^{op} = (M, \hat{\cdot}, e)$，其中 $a \hat{\cdot} b = b \cdot a$。

备注 :

对偶范畴的定义方式使得任何关于 $A^{op}$ 中对象 $X$ 的语句 $S_{A^{op}}(X)$ 都可以转化为关于 $A$ 中对象 $X$ 的逻辑等价语句 $S^{op}_A(X)$。这种潜在性允许将有关范畴中对象和态射的每个性质 $P$ 关联到一个关于对象和态射的对偶性质，具体解释如下：

考虑 $A$ 中对象 $X$ 的性质：$P_A(X) \equiv$ 对于任何 $A$ - 对象 $A$，存在唯一的 $A$ - 态射 $f: A \to X$ ($X$ 是一个终对象）。

步骤 1: 在 $P_A(X)$ 中，用 $A^{op}$ 替换所有 $A$ 的出现，从而获得性质 $P_{A^{op}}(X) \equiv$ 对于任何 $A^{op}$ - 对象 $A$，存在唯一的 $A^{op}$ - 态射 $f: A \to X$。

步骤 2: 将 $P_{A^{op}}(X)$ 转化为逻辑上等价的语句 $P^{op}_A(X) \equiv$ 对于任何 $A$ - 对象 $A$，存在唯一的 $A$ - 态射 $f: X \to A$。

可以观察到，粗略来说，$P^{op}_A(X)$ 是通过颠倒 $P_A(X)$ 中每个箭头的方向和复合态射的顺序得到的。在一般情况下，$P^{op}_A(X)$ 与 $P_A(X)$ 不等价。例如，上述性质 $P_{\text{Set}}(X)$ 当且仅当 $X$ 是一个单集时成立，而其对偶性质 $P^{op}_{\text{Set}}(X)$ 当且仅当 $X$ 是空集时成立。

以类似的方式，关于范畴中态射的任何性质都会导致关于范畴中态射的对偶性质，正如以下示例所演示的：

考虑 $A$ 中态射 $A \xrightarrow{f} B$ 的性质：$Q_A(f) \equiv$ 在 $A$ 中存在一个 $A$ - 态射 $B \xrightarrow{g} A$，使得 $A \xrightarrow{f} B \xrightarrow{g} A = A \xrightarrow{\text{id}_A}A$（即，$g \circ f = \text{id}_A$）。

步骤 1: 在 $Q_A(f)$ 中，用 $A^{op}$ 替换所有 $A$ 的出现，从而获得性质 $Q_{A^{op}}(f) \equiv$ 在 $A^{op}$ 中存在一个 $A^{op}$ - 态射 $B \xrightarrow{g} A$，使得 $A \xrightarrow{f} B \xrightarrow{g} A = A \xrightarrow{\text{id}_A}A$（即，$g \circ f = \text{id}_A$）。

步骤 2: 将 $Q_{A^{op}}(f)$ 转化为逻辑上等价的语句 $Q^{op}_A(f) \equiv$ 在 $A$ 中存在一个 $A$ - 态射 $A \xrightarrow{g} B$，使得 $A \xrightarrow{g} B \xrightarrow{f} A = A \xrightarrow{\text{id}_A}A$（即，$f \circ g = \text{id}_A$）。

例如，上述性质 $Q_{\text{Set}}(f)$ 当且仅当 $f$ 是具有非空定义域的单射函数或是空集上的恒等映射时成立，而其对偶性质 $Q^{op}_{\text{Set}}(f)$ 当且仅当 $f$ 是满射函数时成立。涉及范畴中对象和态射 $A, B, …, f, g, …$ 的更复杂的性质 $P_A(A, B, …, f, g, …)$ 可以通过类似的方式进行对偶。如果 $P = P_A(A, B, …, f, g, …)$ 对于所有 $A$ - 对象 $A, B, …$ 和所有 $A$ - 态射 $f, g, …$ 都成立，则我们说范畴 $A$ 具有性质 $P$ 或 $P(A)$ 成立。

对偶原理指出：每当某一性质 $P$ 对所有范畴都成立时，那么性质 $P^{op}$ 也对所有范畴成立。这一（极为有用的）原理的证明立即可以从以下事实得出，对于所有范畴 A 和性质 P：

$(A^{op})^{op} = A$
当且仅当 $P^{op}(A)$ 成立时，$P(A^{op})$ 成立。

例如，考虑性质 $R = R_A(f)$ 的定义：如果 $P_A(dom(f))$ 成立，则 $Q_A(f)$ 成立，其中P和Q是上文定义的性质。很容易证明对于所有范畴A，$R(A)$ 都成立，因此根据对偶原理，$R^{op}(A)$ 对于所有范畴A都成立，其中 $R^{op}_A(f)$ 的定义为：如果 $P^{op}_A(cod(f))$，则 $Q^{op}_A(f)$ 成立。

由于这一原理，范畴论中的每个结果都有两种等价的表述（乍看起来可能非常不同）。然而，只需要证明其中一个，因为根据对偶原理，另一个是自动成立的。

通常，概念 $P$ 的对偶概念 $P^{op}$ 被表示为 "co-P"（例如，等值器和余等值器，良构和共良构，积和余积等等）。如果 $P$ 等于 $P^{op}$，则概念 $P$ 被称为自对偶。一个例子是 " 恒等态射 " 的概念。

同构态射

定义 : 在一个范畴中，如果存在一个态射 $f: A \to B$，使得存在一个态射 $g: B \to A$，满足 $g \circ f = \text{id}_A$ 和 $f \circ g = \text{id}_B$，则称 $f$ 是一个同构态射。这样的态射 $g$ 被称为 $f$ 的逆。

备注 : 从上述定义可以清楚地看出，"$f$ 是同构态射 " 的陈述是自对偶的；即，$f$ 在范畴 $A$ 中是同构映射，当且仅当 $f$ 在 $A^{op}$ 中是同构态射。

命题 : 如果 $f: A \to B$，$g: B \to A$，$h: B \to A$ 是范畴 $A$ 中的态射，且 $g \circ f = \text{id}_A$ 和 $f \circ h = \text{id}_B$ 成立，则 $g = h$。

证明： $h = \text{id}_A \circ h = (g \circ f) \circ h = g \circ (f \circ h) = g \circ \text{id}_B = g.$

推论 : 如果 $g_1$ 和 $g_2$ 是同一个态射 $f$ 的逆，则 $g_1 = g_2$。

备注 : 根据上述推论，我们可以称同构态射 $f$ 的逆为 $f^{-1}$。

例子：

每个恒等态射 $\text{id}_A$ 都是同构态射，且 $(\text{id}_A)^{-1} = \text{id}_A$。
在集合范畴 $\text{Set}$ 中，同构态射就是双射；在向量空间范畴 $\text{Vect}$ 中，它们就是线性同构映射；在群范畴 $\text{Grp}$ 中，它们就是群同构映射；在拓扑空间范畴 $\text{Top}$ 中，它们就是同胚映射；在关系范畴 $\text{Rel}$ 中，它们就是关系同构映射。需要注意的是，在所有这些情况下，每个同构态射都是双射，但反之则只有在集合、向量空间和群的情况下成立，而在关系和拓扑的情况下不成立。
在 $\text{Ban}_b$ 中，同构态射就是线性同胚映射；而在 $\text{Ban}$ 中，同构态射就是保范线性双射。
在矩阵范畴 $\text{Mat}$ 中，同构态射就是正定矩阵，即行列式非零的方阵。
在自动机范畴 $\text{Aut}$ 中，一个态射 $(f_Q, f_{\Sigma}, f_Y)$ 是同构态射，当且仅当其中的每个映射 $f_Q, f_{\Sigma}, f_Y$ 都是双射。
在单子范畴中，每个态射都是同构态射当且仅当单子是一个群。

命题：

如果 $A\xrightarrow{f} B$ 是同构态射，则 $B \xrightarrow{f^{-1}} A$ 也是同构态射，且 $(f^{-1})^{-1} = f$。
如果 $A \xrightarrow{f} B$ 和 $B \xrightarrow{g} C$ 都是同构态射，则 $A \xrightarrow{g \circ f} C$ 也是同构态射，且 $(g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}$。

证明：

直接根据逆和同构映射的定义得出。
利用结合律和逆的定义，有：$(g \circ f) \circ (f^{-1} \circ g^{-1}) = g \circ (f \circ f^{-1}) \circ g = g \circ \text{id}_B \circ g^{-1} = g \circ g^{-1} = \text{id}_C$，以及 $(f^{-1} \circ g^{-1}) \circ (g \circ f) = f^{-1} \circ (g^{-1} \circ g) \circ f = f^{-1} \circ \text{id}_B \circ f = f^{-1} \circ f = \text{id}_A$。