Leetcode 1130：叶值的最小代价生成树（超详细的解法！！！）

给你一个正整数数组 arr，考虑所有满足以下条件的二叉树：

• 每个节点都有 0 个或是 2 个子节点。
• 数组 arr 中的值与树的中序遍历中每个叶节点的值一一对应。（知识回顾：如果一个节点有 0 个子节点，那么该节点为叶节点。）
• 每个非叶节点的值等于其左子树和右子树中叶节点的最大值的乘积。

在所有这样的二叉树中，返回每个非叶节点的值的最小可能总和。这个和的值是一个 32 位整数。

示例：

输入：arr = [6,2,4]
输出：32
解释：
有两种可能的树，第一种的非叶节点的总和为 36，第二种非叶节点的总和为 32。

    24            24
   /  \          /  \
  12   4        6    8
 /  \               / \
6    2             2   4 

提示：

• 2 <= arr.length <= 40
• 1 <= arr[i] <= 15
• 答案保证是一个 32 位带符号整数，即小于 2^31。

解题思路

树型问题首先思考递归，这个问题可以通过递归加记忆化搜索处理。我们可以定义函数$f(i,j)$返回区间arr[i:j+1]内的非叶节点的值的最小可能总和，那么不难写出递归方程

• $f(i,j)=min(f(i,j),f(i,k-1)+f(k,j)+max(arr[i:k])\ast max(arr[k:j+1]))$

也就是通过k将区间分成两个部分，然后对两部分分别递归即可。边界条件也非常简单，当i>=j的时候，返回0即可。

class Solution:
    def mctFromLeafValues(self, arr: List[int]) -> int:
        mem = {}
        def dfs(i, j):
            if j <= i:
                return 0
            if (i, j) in mem:
                return mem[(i, j)]
            res = float('inf')
            for k in range(i + 1, j + 1):
                res = min(res, dfs(i, k-1) + dfs(k, j) + max(arr[i:k])*max(arr[k:j + 1]))
                mem[(i, j)] = res
            return res
        
        return dfs(0,len(arr)-1)

我们还有一种更快的解法。观察题目所给的条件，每个非叶节点的值等于其左子树和右子树中叶节点的最大值的乘积，也就是说，一个较大的数和一个较小的数乘积会消耗一个较小的数余下一个较大的数。那么我们就有一个贪心的策略，每次最小的两个数相乘最后将乘积相加，那么和一定是最小的。对于上面这个例子[6, 2, 4]来说，我们需要找2两边比2大的最小的数4。

那么找最小值问题可以通过单调栈来处理，关于单调栈的问题，可以参考Leetcode 单调栈问题总结（超详细！！！）。我们维护一个单调递减栈，如果遍历到的元素大于栈顶元素，那么我们首先将栈顶元素弹出，然后比较此时的弹出后栈顶的元素和当前遍历到的元素，取其最小值即可。将这个最小值和当前元素相乘添加到结果中去。

class Solution:
    def mctFromLeafValues(self, A: List[int]) -> int:
        res, n = 0, len(A)
        stack = [float('inf')]
        for a in A:
            while stack[-1] <= a:
                mid = stack.pop()
                res += mid * min(stack[-1], a)
            stack.append(a)
        while len(stack) > 2:
            res += stack.pop() * stack[-1]
        return res

reference:

https://leetcode.com/problems/minimum-cost-tree-from-leaf-values/discuss/339959/One-Pass-O(N)-Time-and-Space

我将该问题的其他语言版本添加到了我的GitHub Leetcode

如有问题，希望大家指出！！！