[总结]数据结构真是博大精深（一）

数据结构学习提纲

（最终解释权归原作者所有，侵权必究）

绪论

1、【概念】数据、数据元素、数据项、数据对象、数据结构

数据：能被输入到计算机中，能被计算机识别，且能被计算机加工处理的符号集合，是计算机操作对象的总称。

数据元素：数据的一个基本单位。如果数据元素被组织成表结构，也称其为数据记录。

数据项：构成数据元素的单位，可以是原子项，也可以是组合项。

数据对象：性质相同的数据元素的集合，是数据的一个子集。

数据结构：关系，相互之间存在着某种逻辑关系的数据元素的集合。

数据包含数据对象，数据对象包含数据元素，数据元素包含数据项。

2、【概念】数据的逻辑结构和存储结构

逻辑结构：对数据元素的逻辑关系的描述，常用图形表示法表示，包括集合结构、线性结构、树形结构、图形结构。

存储结构（物理结构）;需考虑数据的存储和关系的存储，包括顺序存储和链式存储。

3、【概念】抽象数据类型（ADT：Abstract Data Type）

数据类型：一个值的集合以及定义在这个值集上的一组操作的总称。

抽象数据类型：一个数学模型以及定义在该模型上的一组操作，只取决于逻辑。具有数据抽象和数据封装两个特性。可用三元组（D,S,P）表示，其中D是数据对象，S是D上的关系集，P是对D的基本操作集。

4、【概念】算法

问题求解所需要的具体步骤和方法，是规定的一个有限长的操作序列。具有0或多个输入，1或多个输出，确定性，有限性，有效性五大特性。算法效率分析方法有事后统计法和事前分析估算法。对于一个算法，其时间效率和空间效率往往是相互影响的，当追求较高的时间性能时，可能会导致更高的空间复杂度。

5、【概念】时间复杂度

算法所耗费的时间 = 算法中每条语句的执行时间之和

每条语句的执行时间 = 语句的频度 * 语句执行一次所需时间

算法的运行时间主要取决于算法选用的策略，问题的规模，编写程序的语言，编译程序产生的机器代码质量，计算机执行指令的速度。一般情况下，算法中的基本操作重复执行的次数是问题规模n的某个函数，用T(n)表示，若有某个辅助函数f(n)，使得当n趋近于无穷大时，T(n)/f(n)的极限值为非零的常数，则成f(n)是T(n)的同数量级函数，即T(n)的增长率与f(n)的增长率相同。记作T(n)=O(f(n))，则称O(f(n))为算法的渐进时间复杂度。算法分析中不区分算法的时间复杂度和渐进时间复杂度。常见的时间复杂度按递增排列为O(1)、O(log n)、O(n)、O(nlogn)、O(n^2)、O(n^3)、……、k次方阶O(n^k)、指数阶O(2^n)

6、【概念】空间复杂度

算法的空间消耗包括存储算法本身所占用的存储空间，算法的输入输出数据所占用的存储空间，以及算法在运行过程中临时占用的存储空间。

S(n)=O(g(n))也是问题规模的函数，表示随着问题规模n的增大，算法运行所需存储量的增长率与g(n)的增长率相同。

线性表

1、【概念】线性表

最简单的一种线性结构。具有如下特征：集合中必存在唯一的第一元素，集合中必存在唯一的最后元素，除最后元素在外，均有唯一的直接后继，除第一元素之外，均有唯一的直接前驱。可表示为L(D，R)，D是数据元素的集合，R是数据元素关系的集合R={|ai∈D,i=1,…,n,n≥0}

2、【概念】线性表的存储

顺序存储：一片连续存储空间（数组或数组起始地址，用于存放数据元素）、线性表的容量（数组大小，防止溢出）、线性表的长度（已存入到数组中的数据元素个数）

链式存储：单向链表（带头结点、不带头结点）

3、【实践】线性表的基本操作

顺序存储线性表：初始化、插入、删除、更新、获取、定位、遍历

链式存储线性表：初始化、插入、删除、更新、获取、定位、求长度、遍历、创建（初始化+插入，头插法，尾插法）

注：三种创建方法的比较：调用插入函数效率最低，头插链表中数据与输入相反，尾插链表中数据与输入相同。

4、【概念】静态链表

对于某些程序设计语言，不支持指针变量，可以用数组模拟单向链表，称为静态链表。其思想是开辟一个较大容量的一维结构体数组，每个数组元素是一个结点，包含一个数据域和一个指针域，指针域的类型为int型，存放下一个结点的下标。为了便于插入和删除，将一维结构体数组的数组元素分为两组，已经存放数据的数据元素组成一个链表，未存放数据的结点组成另一个备用链表，用于提供插入时的新结点，回收删除时的结点。

定义：typedefstruct{ElemType data; int next;}SNode;

        typedef struct{SNode sd[MAX];int SL,AV;intSLinksize;}StaticLink;

5、【实践】静态链表的基本操作

初始化、插入、删除、更新、获取、定位、遍历、求长度  □

6、【概念】线性表两种存储结构的区别

顺序存储：数据元素的存储空间是连续的，只要知道首地址，任意一个元素的地址都可以根据下标直接计算，即顺序存储，随机存取，存储密度=1。

链式存储：数据元素所在的结点是动态申请的，任意一个数据元素都要通过头指针开始查找，即随机存储，顺序存取，存储密度<1。

注：存储密度：按数据元素类型分配空间大小/数据元素所在结点分配空间大小

实际应用中：基于空间考虑：如果线性表的长度事先可确定，宜采用顺序表；如果线性表的长度变化较大，宜采用链表。基于时间考虑：如果经常对线性表做插入和删除操作，宜采用链表；反之采用顺序表。

7、【实践】其他形式的链表的基本操作

单向循环链表（带头指针 □、带尾指针 □）：初始化、插入、删除

双向循环链表：初始化、插入、删除、遍历  □

8、【实践】线性表的应用

两个线性表的合并（在原表中插入合并  □、合并成一新表  □）

一元多项式的应用（插入、创建、加法、乘法、显示）□

9、【实践】相关算法设计题

⑴ 已知一顺序表A，其元素值非递减有序排列，编写一个函数删除顺序表中多余的值相同的元素。 □

⑵ 编写一个函数，从一给定的顺序表A中删除x~y(x<=y)之间的所有元素，要求以较高的效率来实现。  □ （提示：将顺序表中所有值在x~y之间的元素置成一个特殊的值，并不立即删除它们，然后最后向前依次扫描，发现具有特殊值的元素，移动其后面的元素将其删除）

⑶ 线性表中有n个元素，每个元素是一个字符，现存于数组R[n]中，试写一算法，使R中的字符按字符按字母字符、数字字符和其他字符的顺序排列。要求利用原来的存储空间，元素移动次数最小。□

⑷ 线性表用顺序存储，设计一个算法，用尽可能少的辅助存储空间将顺序表中前m个元素和后n个元素进行整体互换。 □

⑸ 写出将线性表就地逆转算法，要求：分别用顺序表和带头结点的单链表来实现。  □

⑹ 已知带头结点的单链表L中的结点是按整数值递增排列的，试写一算法，将值为x的结点插入到表L中，使得L仍然有序，并且分析算法的时间复杂度。  □

⑺ 假设有两个已排序的单链表A和B，编写一个函数将他们合并成一个链表C而不改变其排序性。

⑻ 假设有两个已排序的顺序表A和B，编写一个函数将他们合并成一个顺序表C而不改变其排序性。  □

⑼ 假设长度大于1的循环单链表中，既无头结点也无头指针，p为指向该链表中某一结点的指针，编写一个函数删除该结点的前驱结点。  □

⑽ 已知两个单链表A和B分别表示两个集合，其元素递增排列，编写一个函数求出A和B的交集C，要求C同样以元素递增的单链表形式存在。  □

⑾ 试编写一个算法，将一个用带头结点的单向链表表示的多项式分解成两个多项式，使这两个多项式分别仅含奇次指数项或偶次指数项。要求利用原链表的结点存储空间。 □

⑿ 已知p指向双向循环链表中的一个结点，其结点结构为data、llink、rlink三个域，写出算法change(p)，交换p所指向的结点和它的前驱结点的顺序。  □

⒀ 已知不带头结点的线性链表list，链表中结点构造为(data、link)，其中data为数据域，link为指针域。请写一算法，将该链表按结点数据域的值的大小从小到大重新链接。要求链接过程中不得使用除该链表以外的任何结点空间。  □

⒁ 设键盘输入n个英语单词，输入格式为n,w1,w2,……，wn，其中n表示随后输入英语单词个数，试编一程序，建立一个单向链表，实现：如果单词重复出现，则只在链表上保留一个；链表结点还应有一个计数域，记录该单词重复出现的次数，然后输出出现次数最多的前k(k<=n)个单词。  □

⒂ Josephu问题：设编号为1,2，…,n的n个人围坐一圈，约定编号为k(1<=k<=n)的人从1开始报数，数到m的那个人出列，它的下一位又从1开始报数，数到m的那个人又出列，依次类推，直到所有人出列为止，由此产生一个出队编号的序列。  □

栈与队列

1、【概念】栈

一种特殊的线性表，限定插入和删除操作只能在一端进行。具有后进先出的特点。栈顶（TOP）:允许插入和删除的一端，栈底（BOTTOM）:不允许插入和删除的一端。

2、【概念】栈的存储

顺序栈：一片连续存储空间（数组或数组起始地址，用于存放数据元素），int top指示栈顶的位置，int size栈的容量

链栈：不带头结点的单向链表

3、【实践】栈的基本操作

初始化、销毁、判断栈空、得到栈顶、清空栈、求栈的长度、进栈、出栈、遍历□ □

4、【实践】栈的应用

基于栈的括号匹配□、表达式求值（转为后缀表达式后求值□、直接求值□）、递归算法（Fibnacci数列□、逆序输出不带头结点的单链表□、Hanoi塔□）

注：递归转为非递归：直接转换法、间接转换法（递归调用语句进栈、递归返回调用的后续执行语句出栈）；函数的调用都是通过栈来实现的；递归条件：规模确定、有递归出口、确定一般公式。

5、【概念】队列

一种特殊的线性表，限定插入操作在线性表的一端，删除操作在线性表的另一端。具有先进先出的特点。队头：允许删除的一端，队尾：允许插入的一端。

6、【概念】队列的实际应用

解决由多用户（多终端）引起的资源竞争问题；解决主机与外部设备之间的速度不匹配问题。

7、【概念】队列的存储

顺序队列：由于队列的插入删除分别被限制在队头队尾，因此必须知道队头队尾位置，如果规定队头指针指向队头，队尾指针指向队尾，会引起进队、出队、对空操作的二义性，所以通常规定队头指针指向队头，队尾指针指向当前队尾的下一个元素。但当队尾指针指向数组最后一个元素时，空间“溢出”，但此前有若干元素出队列，一部分空间是闲置的，这种现象被称为“假溢出”。解决方案：用一个变量记当前队列的长度：int front;指向队头的位置，int rear;指向队尾的下一个元素的位置，int size;队列的容量；QElemType data[MAX];数据；int length;当前长度。循环队列（队列长度比循环队列的容量少1）：int front;指向队头的位置，int rear;指向队尾的下一个元素的位置，int size;队列的容量；QElemType data[MAX];数据

链队列：用带头结点的单向链表存放队列中的数据元素，用一个头指针记住链表的头结点，一个尾指针记住队尾。

8、【实践】队列的基本操作

初始化、销毁、判断队空、求队列长度、得到队头、清空、进队列、出队列、遍历□  □                  

9、【实践】队列的应用

划分子集问题（运动会排时间）：设定项目报名 项目编排 显示 □

10、【概念】共用栈

实际应用中，有时一个应用程序需要多个栈，但这些栈的数据元素类型相同。假设每个栈采用顺序栈，由于每个栈的使用情况不尽相同，势必会造成存储空间的浪费。若让多个栈共用一个足够大的连续存储空间，则可利用栈的动态特性使它们的存储空间互补，这时的操作必须同时记住多个栈的栈顶。

为使操作更加方便，可采用多个单链栈，将多个单链栈的栈顶指针存放到一个指针数组中，顺序栈的共享最常见的是两栈的共享。

11、【实践】共用栈的基本操作

初始化、销毁、判断栈空、得到栈顶、清空栈、求栈的长度、进栈、出栈、遍历□ □

12、【概念】双端队列

如果限定插入和删除均可以在线性表的两端进行，则成为双端队列。这样的结构常用于CPU调度。实际应用中，也可对双端队列做如下限制：只允许在一端进行插入，两端进行删除；只允许在一端进行删除，两端进行插入。

13、【实践】双端队列的基本操作

初始化、判断队空、求队列长度、得到队头、清空、进队列、出队列、遍历□ □ □ □

14、【实践】相关算法设计题

⑴ 要求循环队列的空间全部都能得到利用，设置标识域tag，以tag为0或1来区分头尾指针相同时队列状态的空与满，试编写与此结构相适应的入队与出队算法。 □

⑵ 正读与反读都相同的字符序列称为“回文”序列。试编写一个算法，判断一次读入以“@”结束的字母序列，是否为形如“序列1&序列2”模式的字符序列。其中序列1和序列2中都不含有字符“&”，且序列2是序列1的逆序列。要求用栈和队列来实现。□

⑶ 数值转换。编写程序，将十进制整数N转换为d进制数，其转换步骤是重复以下两歩，直到N等于0。X=N mod d（其中mod为求余运算），N=N div d（其中div为整除运算）□

⑷ 商品货架可以看做是个栈，栈顶商品的生产日期最早，栈底商品的生产日期最近。上货时，以保证生产日期较近的商品放在较下的位置，用另一个栈作为周转，模拟实现商品货架管理过程。□

⑸ 试写出求递归函数F(n)的递归算法，并消除递归：F(n)=n+1(n=0),m*F(n/2)(n>0)□

⑹ 求两个数的最大公约数、最小公倍数，要求用递归算法实现。□

⑺ 请利用两个栈s1和s2来模拟一个队列。已知栈的三个运算定义如下：PUSH(ST,x)：元素x入ST栈；POP(ST,x)：ST栈顶元素出栈，赋给变量x；Sempty(ST):判ST栈是否为空。那么如何利用栈的运算来实现该队列的三个运算：EnQueue()：插入一个元素入队列；DeQueue()：删除一个元素出队列；Queue_Empty()：判队列为空。□

⑻ 假设循环队列中front指向队头元素的前一个位置，rear指向队尾元素。试编写相应的入队、出队以及判断队空、队满的函数。□

⑼ 写一个算法，借助于栈将一个单链表逆置。 □

⑽ 在行编辑程序中，设用户输入一行的过程中允许用户输入出差错，并在发现有误时通过“#”（退格符）和“@”（退行符）进行改正，当输入回车时处理所有的输入字符得到最终的输入，试编写算法实现行输入处理过程。□

⑾ 完成对任意多位整数和实数的算术表达式运算，要求：用顺序栈检查表达式中的括号是否匹配，如果匹配，才计算表达式的值；用链栈完成先求后缀表达式再求值；；用链栈完成直接求值。□ □ □ □

⑿ 模拟银行排队等候叫号系统，采用循环队列完成。系统具有如下功能：拿号等候、窗口1叫号、窗口2叫号、显示等候的人数。 □

数组和特殊矩阵

1、【概念】数组的内存映像

一维数组元素的存储地址：首元素地址+下标*每个元素存储占用的字节数

二维数组元素的存储地址：LOC(aij) = LOC(a00) + (i*n+j) * L

三维数组元素的存储地址：LOC(aijk) = LOC(a000) + (i*n*p+j*p+k) * L

2、【实践】数组内存映像练习，不用下标，用地址

若矩阵Am*n中存在某个元素aij满足：aij是第i行中最小值且是第j列中的最大值，则称该元素为矩阵A中的一个鞍点。试编写一个算法，找出A中的所有鞍点。 □

求Amnp的最大值。□

3、【概念】对称矩阵的压缩存储

将下三角部分的所有元素以行为主序顺序存储到一个一维数组中，对于下三角元素，其下标k=i*(i+1)/2+j，对于上三角元素，其下标k=j*(j+1)/2+i

4、【概念】三角矩阵的压缩存储

下三角矩阵：将下三角部分的所有元素以行为主序顺序存储到一个一维数组中，紧接着存储对角线上方的常量c，对于下三角部分k=i*(i+1)/2+j，上三角部分k=n*(n+1)/2。

上三角矩阵：将上三角部分的所有元素以行为主序顺序存储到一个一维数组中，紧接着存储对角线下方的常量c，对于下三角部分k=m*(n+1)/2，上三角部分k=i*(2n-i+1)/2+j-i

5、【概念】带状矩阵的压缩存储

n阶矩阵A称为带状矩阵，如果存在最小正数m，满足当|i-j|≥m时，aij=0，这时称 w=2m-1为矩阵A的带宽。特点是所有非零元素都集中在以主对角线为中心的带状区域中，所有其他元素为0。

压缩方法：① 将A压缩存储到一个n行w列的二维数组B中，即带宽为区域内的元素立起来，缺失部分补0，A[i][j]映射B[m][n]映射关系为m=i,n=j-i+1 ② 将带状矩阵A压缩到一个一维数组中，按以行为主序，顺序存储其非零元素

6、【实践】矩阵基本操作

编写创建n阶整形对称矩阵A和输出n阶整形对称矩阵的算法。 □

编写创建n阶整形三角矩阵A和输出n阶整形三角矩阵的算法。 □

编写创建n阶w带宽整形带状矩阵A和输出n阶w带宽整形带状矩阵的算法。 □

7、【概念】稀疏矩阵的三元组表存储

将非零元素所在的行、列以及它的值构成一个三元组（i,j,v），按行优先的顺序，同一行中列号从小到大的规律排列成一个线性表，即三元组表。

typedefstruct { int I,j; datatype v;} SPNode; //三元组类型：非零元素的行、列、值

typedefstruct {SPNode data[MAX]; int mu,nu,tu;} SPMatrix; //三元组表：数据、行数、列数、非零元素数

8、【实践】稀疏矩阵的三元组表基本操作

创建、展示、转置（原始、优化）、乘积  □

9、【概念】稀疏矩阵的十字链表存储

对每个非零元素存储为一个结点，结点由5个域组成，其中row存储非零元素的行号，col存储非零元素的列号，v域存储本元素的值，right,down是两个指针域。稀疏矩阵中每一行的非零元素结点按照其列号从小到大顺序由right域链成一个带表头结点的循环行链表，同样每一列中的非零元素按其行号从小到大顺序由down域链成一个带表头结点的循环列链表。

10、【实践】稀疏矩阵的十字链表基本操作

创建、展示、加法 □

11、【实践】相关算法设计题

设计一个算法，将数组A[n]中的元素A[0]至A[n-1]循环右移k位，并要求只用一个元素大小的附加存储，元素移动或交换次数为O(n) □