图像仿射的基本原理-旋转变换、平移、缩放

旋转是图像处理的常用技巧。今天介绍一下旋转，平移以及尺度放缩的基本原理。

点的旋转

给定一个点P（x,y)，以及一个角度$\theta$，求逆时针旋转$\theta$之后新的点坐标$P^{\prime }$的位置。
我们用极坐标表示P
$$x=Rcos\varphi$$
$$y=Rsin\varphi$$
逆时针旋转$theta$之后，
$$x^{\prime }=Rcos(\theta +\varphi );y^{\prime }=Rsin(\theta +\varphi )$$
把cos和sin拆开。
$$\begin{gathered} x^{\prime }=R(cos\theta cos\varphi -sin\theta sin\varphi ) \\ =xcos\theta -ysin\theta \end{gathered}$$
$$\begin{gathered} y^{\prime }=R(sin\theta cos\varphi +cos\theta sin\varphi ) \\ =xsin\theta +ycos\theta \end{gathered}$$
然后写成矩阵形式
$$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}cos\theta & -sin\theta \\ sin\theta & cos\theta \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$$

齐次坐标

图像的仿射变换是要在齐次坐标系下进行的。齐次坐标能把旋转，缩放以及平移都用相同大小的矩阵表示，而且他们的组合是线性且可逆的。
范式如下：
$$[x^{\prime },y^{\prime },1{]}^T=A[x,y,1{]}^T$$

• 旋转矩阵
  $$A=\left[\begin{array}{ccc}cos\theta & -sin\theta & 0\\ sin\theta & cos\theta & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$

• 平移矩阵
  $$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& t_x\\ 0& 1& t_y\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$

• 缩放矩阵
  $$A=\left[\begin{array}{ccc}{s}_x& 0& 0\\ 0& s_y& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$

使用这些矩阵，我们就能获得每个坐标在仿射变换之后的位置。

如果我们想让一张图片围绕中心旋转。我们应该把中心点移到原点坐标上，然后旋转，然后在平移回去。

OpenCV中的仿射API

• cv2.getRotationMatrix2D(center, angle, scale)
• cv2.warpAffine(image, A, (width, height))

第一个函数用来获得仿射矩阵。你可以设置这个三个自由度。angle用角度值（不是弧度制）
第二个函数是做仿射变换。其中A就是仿射矩阵。

另外numpy中有角度转弧度的函数 np.radians 以及弧度转角度的函数 np.rad2deg