动态规划经典例题——最长公共子序列和最长公共子串

1. 最长公共子序列(LCS)

1.1 问题描述

动态规划经典例题——最长公共子序列和最长公共子串_第1张图片

1.2 思路

利用动态规划。
动态规划经典例题——最长公共子序列和最长公共子串_第2张图片
下一步就要找到状态之间的转换方程。
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因此可以根据这个方程来进行填表,以"helloworld"和“loop”为例:
动态规划经典例题——最长公共子序列和最长公共子串_第4张图片

1.4 找到具体的子序列

如果有两个字符串如下:
S1 = “123456778”
S2 = “357486782”
其最终的动态规划填表结果为:
动态规划经典例题——最长公共子序列和最长公共子串_第5张图片

其中S1和S2的LCS并不是只有1个。
我们根据递归公式:
动态规划经典例题——最长公共子序列和最长公共子串_第6张图片

构建了上表,
通过递推公式,可以看出,res[i][j]的值来源于res[i-1][j]或者是res[i-1][j]和res[i][j-1]的较大值(可能相等)。
我们将从最后一个元素c[8][9]倒推出S1和S2的LCS。
res[8][9] = 5,且S1[8] != S2[9],所以倒推回去,res[8][9]的值来源于c[8][8]的值(因为res[8][8] > res[7][9])。
res[8][8] = 5, 且S1[8] = S2[8], 所以倒推回去,res[8][8]的值来源于 res[7][7]。
以此类推,如果遇到S1[i] != S2[j] ,且res[i-1][j] = res[i][j-1] 这种存在分支的情况,这里都选择一个方向(之后遇到这样的情况,也选择相同的方向,要么都往左,要么都往上)。

动态规划经典例题——最长公共子序列和最长公共子串_第7张图片

可得S1和S2的LCS为{3、5、7、7、8} 这是遇见相等的时候,统一往左走
S1和S2之间还有一个LCS 这是遇见相等的时候,统一往上走:
动态规划经典例题——最长公共子序列和最长公共子串_第8张图片
可得S1和S2的LCS为{3、4、6、7、8}

2. 最长公共子串

2.1 问题描述

动态规划经典例题——最长公共子序列和最长公共子串_第9张图片

2.2 思路

和最长公共子序列一样,使用动态规划的算法。
动态规划经典例题——最长公共子序列和最长公共子串_第10张图片
下一步就要找到状态之间的转换方程。
和LCS问题唯一不同的地方在于当A[i] != B[j]时,res[i][j]就直接等于0了,因为子串必须连续,且res[i][j] 表示的是以A[i],B[j]截尾的公共子串的长度。因此可以根据这个方程来进行填表,以"helloworld"和“loop”为例:
动态规划经典例题——最长公共子序列和最长公共子串_第11张图片
这个和LCS问题还有一点不同的就是,需要设置一个res,每一步都更新得到最长公共子串的长度。

原文链接:https://blog.csdn.net/ggdhs/article/details/90713154

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