洛谷题目链接:P3338 [ZJOI2014]力
题目描述
给出n个数qi,给出Fj的定义如下:
\[F_j = \sum_{i
令Ei=Fi/qi,求Ei.
输入输出格式
输入格式:
第一行一个整数n。
接下来n行每行输入一个数,第i行表示qi。
输出格式:
n行,第i行输出Ei。
与标准答案误差不超过1e-2即可。
输入输出样例
输入样例#1:
5
4006373.885184
15375036.435759
1717456.469144
8514941.004912
1410681.345880
输出样例#1:
-16838672.693
3439.793
7509018.566
4595686.886
10903040.872
说明
对于30%的数据,n≤1000。
对于50%的数据,n≤60000。
对于100%的数据,n≤100000,0 [spj 0.01] 题解: 首先考虑化式子(话说这玩意求的好像是电场强度诶). \[F_j = \sum_{i 那么为了将后面的式子也转化成卷积的形式,我们可以将后面的\(q\)数组翻转一下,用\(q^{'}(q^{'}_i=q_{n-1-i})\)来代替,则有:\[E_j=\sum_{i=0}^{n-1}q_i*b_{j-i}-\sum^{n-1}_{i=j+1}q^{'}_{n-i-1}*b_{i-j}\] 那么后面那一半也变成了卷积的形式,就可以直接FFT求了.如果将\(b\)数组乘入\(q\)数组,那么最后的\(E_i\)对应着\(q_i-q^{'}_{n-i-1}\).
\[E_j=\sum_{i=0}^{n-1}q_i*\frac{1}{(j-i)^2}-\sum_{i=j+1}^{n-1}q_i*\frac{1}{(i-j)^2}\]
不妨设\(b_i=\frac{1}{i^2}\),则有\[E_j=\sum_{i=0}^{n-1}q_i*b_{j-i}-\sum_{i=j+1}^{n-1}q_i*b_{i-j}\]
前面一半两个符号相乘的下标之和是一个常数,也就是如果将\(q,b\)看成多项式的话,那么这个乘积就可以做卷积.因为若\((a_0+a_1*x+a_2*x^2+...+a_{n-1}*x^{n-1})*(b_0+b_1*x+b_2*x^2+...+b_{n-1}*x^{n-1})=c_0+c_1*x+c_2*x^2+...+c^{2n-1}*x^{2n-1}\),则有\(c_k=\sum^k_{i=0}a_i*b_{k-i}\)也就是这样相乘可以使某一项的次数相同.#include