在SVM中，将约束问题转化成非约束问题采用到了拉格朗日乘子法。这个文章就讲一下拉格朗日乘子法与KKT约束是怎么回事。本人不是数学科班出身，但是也只能硬着头皮讲一讲了。
从零理解
现在我们要解决这样一个问题：
\(x^2y=3\)
这个函数距离原点最近的距离是多少。
先画出函数图像：
然后想求出最短距离：
这里的思路就是，做一个以原点为中心的圆形：
不断扩大圆形的半径，直到圆与蓝色的曲线相切：
现在。第一次与\(x^2y=3\)相交的点就是距离原点最近的那个点：
这个，圆形与曲线相切，且切线既是圆形的切线，也是曲线的相切。
这时候，这个切线的垂线其实也就是我们所说的梯度，也叫做等高线的法线，看下面两个图可能会好理解一些：
那么这个梯度怎么计算呢？先看圆形\(f(x,y)=x^2+y^2\)的梯度：
再看曲线的梯度计算\(g(x,y)=x^2y\)的梯度：
在相切的时候，两者的梯度方向都在同一条直线上，可以称之为，成比例，这里用比例系数\(\lambda\)来表示：
所以我们汇总一下所有的已知信息，得到下面的方程组：
可以求解得到：
这个就是拉格朗日乘子法的直观理解。
抽象成数学的形式
我们要解决的问题：
\(\min {x^2+y^2}\)
\(s.t. x^2y=3\)
我们会将约束问题通过拉格朗日乘子法转换成非约束问题：
\(\min F(x,y)={x^2+y^2+\lambda(x^2y-3)}\)
【为什么可以这样呢？】
如果求极值，偏导数为0。先对上面的公式进行求偏导数：
\(\frac{\partial F(x,y)}{\partial x}=2x+\lambda 2xy=0\)
\(\frac{\partial F(x,y)}{\partial y}=2y+\lambda x^2=0\)
这两个等式与这个等价，唯一的不同就是\(\lambda\)一个是正数一个是负数:
当然，对于\(x^2y-3=0\)这个条件，我们也可以写成\(\frac{\partial F(x,y,\lambda)}{\partial \lambda}\)，所以，可以得到这样的一个方程组：
KKT条件
- KKT的英文全称：Karush-Kuhn-Tucker
之前的拉格朗日的约束条件是等值的，现在可以通过KKT条件推广到不等式。因为限制条件往往是不大于，小于这样的不等式，所以KKT才是拉格朗日化约束问题为非约束问题的关键。
对于不等式问题，就是有两种情况：
- 可行解在g(x)<0；
- 可行解在g(x)=0。
可行解在g(x)<0，就表示这个约束条件并没有起到约束效果，有根没有事一个效果（下图中的左图）；可行解g(x)=0,就表示这个约束条件起到作用了，这就表示g(x)与f(x)相切，也就是下图中右边的图。
【g(x)<0的情况】
这种情况下，就是没有限制条件下的情况，其实就是没有约束条件的限制，也就是\(\lambda=0\)的情况，所以我们的等式就是直接求解：
\(\Delta f(x)=0\)
【g(x)=0的情况】
如果是g(x)=0的情况，那也就是约束条件起到作用了，也就意味着\(\lambda>0\)。在这种情况下，存在着:
\(\Delta f(x) = -\lambda \Delta g(x)\)
并且两个函数的扩张的方向相反，所以表明两个g(x)和f(x)的梯度一个是正数，一个是负数。所以这个表示\(\lambda>0\)。
所以综上所述，在这种情况下，我们所有的条件综合起来可以得到，其中\(x^\*\)就是最优解：
- \(\lambda >=0\)
- \(\lambda g(x^*)=0\)
- $ g(x^*) <= 0$
这三个就是KKT条件。
