偏序关系和全序关系
一、关系 (relation)
https://www.youtube.com/watch?v=FI6j5QZNVx0&list=PLDDGPdw7e6Ag1EIznZ-m-qXu4XX3A0cIz&index=48
https://web.stanford.edu/class/archive/cs/cs103/cs103.1132/lectures/06/Slides06.pdf
1. 关系(relation)
集合A和集合B之间的关系R是A和B的笛卡尔积的一个子集。
# 例子
假设集合为 Z Z Z（整数集合），集合 Z Z Z上的关系为 G G G， x G y xGy xGy表示x比y大。
那么 ( 1 , 2 ) ∉ G (1, 2)\notin G (1,2)∈/G，而 ( 2 , 1 ) ∈ G (2, 1)\in G (2,1)∈G。
2. 描述关系的一些性质
下属性质用来描述关系，不是所有的关系都会满足下述性质
a. 反身性 (reflexive)
举个例子，对于整数集 Z Z Z，规定关系 R R R为相等关系，也就是对于 a , b ∈ Z a, b \in Z a,b∈Z，若 a = b a = b a=b，则 ( a , b ) ∈ R (a,b) \in R (a,b)∈R；若 a ≠ b a\neq b a=b， ( a , b ) ∉ R (a,b) \notin R (a,b)∈/R。
对于上述关系 R R R，满足反身性。因为对于集合 Z Z Z中任意一个元素 z z z，均有 ( z , z ) ∈ R (z, z) \in R (z,z)∈R，即 z R z zRz zRz。
b. 对称性 (symmetric)
举个例子，对于整数集 Z Z Z，规定关系 R R R为不等关系，也就是对于 a , b ∈ Z a, b \in Z a,b∈Z，若 a ≠ b a \neq b a=b，则 ( a , b ) ∈ R (a,b) \in R (a,b)∈R；若 a = b a = b a=b，则 ( a , b ) ∉ R (a,b) \notin R (a,b)∈/R。
对于上述关系 R R R，满足对称性。因为对于集合 Z Z Z中任意两个不等元素 a , b , a ≠ b a, b, a \neq b a,b,a=b，均有 b ≠ a b \neq a b=a。即 ( a , b ) ∈ R (a, b) \in R (a,b)∈R且 ( b , a ) ∈ R (b, a) \in R (b,a)∈R
c. 传递性 (transitive)
例子：小于关系
d. 反对称性 (Antisymmetric)
定义：集合 A A A上有关系 R R R，对于 a , b ∈ A a,b \in A a,b∈A，如果 a R b aRb aRb且 b R a bRa bRa，则 a = b a=b a=b
例子：
- 小于等于关系
- 子集关系
e. total性质
二、偏序 (Partial Order)
- https://www.youtube.com/watch?v=R36F8CWAi2k&list=PLDDGPdw7e6Ag1EIznZ-m-qXu4XX3A0cIz&index=50&pbjreload=10
- https://en.wikipedia.org/wiki/Partially_ordered_set#Strict_and_non-strict_partial_orders
1. 非严格的偏序关系(non-strict partial order)
集合 A A A上的关系 R R R如果满足：
- 反对称性
- 对于 ∀ a , b ∈ A \forall a, b \in A ∀a,b∈A，若 a R b aRb aRb且 b R a bRa bRa，则 a = b a=b a=b
- 反身性
- 对于 ∀ a ∈ A \forall a\in A ∀a∈A，有 a R a aRa aRa
- 传递性
- 对于 ∀ a , b , c ∈ A \forall a,b,c \in A ∀a,b,c∈A，若 a R b , b R c aRb, bRc aRb,bRc，则 a R c aRc aRc
则称关系 R R R为集合 A A A上的一个***(非严格的)偏序关系***，记做 ⪯ \preceq ⪯。
# 非严格偏序的例子
小于等于关系
2. 严格的偏序关系 (strict partial order)
集合 A A A上的关系 R R R如果满足：
- 非对称性 (Asymmetry)：非对称性，not反对称性
- 对于 ∀ a , b ∈ A \forall a, b \in A ∀a,b∈A，若 a R b aRb aRb，则不可能有 b R a b R a bRa
- 非反身性
- 对于 ∀ a ∈ A \forall a\in A ∀a∈A， ( a , a ) ∉ R (a, a) \notin R (a,a)∈/R
- 传递性
- 对于 ∀ a , b , c ∈ A \forall a,b,c \in A ∀a,b,c∈A，若 a R b , b R c aRb, bRc aRb,bRc，则 a R c aRc aRc
则称关系 R R R为集合 A A A上的一个***(严格的)偏序关系***，记做 ⪯ \preceq ⪯。
# 严格偏序的例子
(1) 编程语言中的happen-before。
- 对于任意两个操作A和B，若A happen before B，则不可能有B happen before A
- 对于任意三个操作A、B、C，若A happen before B且B happen before C，则A happen before C
- 对于任意一个操作A，不可能有A happen before A
(2) 字母表的顺序
三、全序(Total Order)
https://www.cs.odu.edu/~toida/nerzic/content/relation/order/order.html
1. 全序关系的定义
集合 A A A上的关系 R R R如果满足：
- R R R是偏序关系(反对称性、反身性、传递性)，可以是严格的也可以是非严格的
- R R R满足total性质
- 即 ∀ a , b ∈ A \forall a, b\in A ∀a,b∈A，有 a R b aRb aRb或 b R a bRa bRa （它们二者有可能同时成立，此时根据反对称性，说明 a = b a=b a=b）
则称关系 R R R为集合 A A A上的一个全序关系，记做 ≺ \prec ≺。
2. 全序关系的例子
- 小于等于关系
四、偏序和全序的关系
偏序关系是全序关系的子集，某集合上的一个全序关系一定是该集合上的偏序关系。
全序关系相比偏序关系多出来一条要求——total。
这条要求是什么意思，举个例子，假设集合 S e t Set Set是26个英文字母的集合，关系 R R R是先后关系， ( l 1 , l 2 ) ∈ R (l1, l2) \in R (l1,l2)∈R表示字母表中字母 l 1 l1 l1排在 l 2 l2 l2的前面。可以验证，关系 R R R是全序关系。全序关系的total特性确保了对于Set中✅任意两个元素，都满足关系 R R R，即 ∀ a , b ∈ S e t \forall a,b \in Set ∀a,b∈Set(a和b可能相等)，都满足关系 R R R（要么 a R b aRb aRb, 要么 b R a b R a bRa）。
而考虑下面的例子： Z + Z_+ Z+为正整数集合， R R R为 Z + Z_+ Z+上的整除关系，显然 R R R是一个非严格的偏序关系，而不是全序关系，因为不是任意两个元素都有整除关系的。