非线性规划——基于matlab学习（fminbnd fmincon）
文章目录
- 序言小说明
- （1）fminbnd函数
- 函数介绍
- 案例说明
- （2）fmincon函数
- 函数介绍
- 案例说明
序言小说明
- 根据MATLAB目标函数和约束条件的不同，提供了fminbnd,fmincon,quadprog,fseminf,fminimax,fgoalattain,lsqlin等函数了求解不同类型的非线性规划问题
（1）fminbnd函数
函数介绍
用于求解一元非线性规划问题。其调用格式：
-
x=fminbnd(fun,x1,x2) 返回目标函数f(x)在区间（x1,x2）上的极小值。
-
x=fminbnd(fun,x1,x2,option); option为指定优化参数选项。
-
[x,fval]=fminbnd(…) 除返回极小值x外，还得相应的目标函数值fval。
-
[x,fval,exitflag]=fminbnd(…) 下面是关于exitflag的说明：
| exitflag | 说明 |
|---|---|
| 1 | 表示函数收敛到最优解 |
| 0 | 表示达到函数的最大估计值或者迭代次数 |
| -1 | 表示算法被输出函数终止 |
| -2 | 表示输入的区间有误，即a>b |
- [x,fval,exitflag,output]=fminbnd(…) 下面是output输出信息变量情况
| output | 说明 |
|---|---|
| iterations | 迭代次数 |
| funcCount | 函数赋值次数 |
| algorithm | 函数所调用的算法 |
| message | 算法终止的信息 |
案例说明
例1：求下面函数在区间（1,5）内的最小值。 f ( x ) = sin ( x ) x 2 + 3 x cos x f(x)=\frac{\sin (x)}{x^{2}}+3 x \cos x f(x)=x2sin(x)+3xcosx
clear all;
%方法一
fun=inline('sin(x)/x^2+3*x*cos(x)')
[x,fval,exitflag,output]=fminbnd(fun,1,5)
%方法二
[x,fval,exitflag,output]=fminbnd('sin(x)/x^2+3*x*cos(x)',1,5)
%方法三
[x,fval,exitflag,output]=fminbnd(@(x)sin(x)/x^2+3*x*cos(x),1,5)
%运行结果
fun = 内联函数:
fun(x) = sin(x)/x^2+3*x*cos(x)
x = 3.4314
fval = -9.8892
output =
包含以下字段的 struct:
iterations: 8
funcCount: 9
algorithm: 'golden section search, parabolic interpolation'
message: '优化已终止:↵ 当前的 x 满足使用 1.000000e-04 的 OPTIONS.TolX 的终止条件↵'
（2）fmincon函数
函数介绍
用于求解非线性多元规划问题，其问题表述如下：
min f ( x ) st. A x < = b Aeq.x = b e q C ( x ) < = 0 Ceq ( x ) = 0 l b < = x < = u b \begin{array}{l} \min f(x) \\ \text { st. } \\ A x<=b \\ \text { Aeq.x }=b e q \\ C(x)<=0 \\ \operatorname{Ceq}(x)=0 \\ l b<=x<=u b \end{array} minf(x) st. Ax<=b Aeq.x =beqC(x)<=0Ceq(x)=0lb<=x<=ub
- x=fmincon(fun,x0,A,b) 以x0为初始点
- x=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq) 如果没有等式约束条件，Aeq=[],beq=[]
- x=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,Ib,ub) 如果没有界约束，则令Ib和ub为空矩阵；如果没有下界，则Ib=-Inf;没有上界，则ub=Inf。
- x=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,Ib,ub,nonlcon)
其中nonicon函数的定义如下：function [c1,c2,gc1,gc2]=nonlcon(x) c1=... c2=... if nargout>2 gc1=... gc2=... end - [x,fval,exitflag,output,lambda,grad,hessian]=fmincon(…);
案例说明
- 例1： min f ( x ) = sin ( x 2 − 3 y ) + e − x 2 cos y \min f(x)=\sin \left(x^{2}-3 y\right)+e^{-x^{2}} \cos y minf(x)=sin(x2−3y)+e−x2cosy
s.t.
− x + ( y − 2 ) 2 ≥ 0 -x+(y-2)^{2} \geq 0 −x+(y−2)2≥0
x − 2 y + 1 ≥ 0 x-2 y+1 \geq 0 x−2y+1≥0
%非线性约束条件
function [c,ceq]=nonlcon(x)
c=x(1)-[x(2)-2].^2; %不等式约束
ceq=[]; %等式约束
%运行情况
clear all;
fun='sin(x(1)^2-3*x(2))+exp(-x(1)^2)*cos(x(2))';
x0=[1.2,1];
A=[-1 2];
b=1;
[x,fval,exitflag,output,lambda,grad,hessian]=fmincon(fun,x0,A,b,[],[],[],[],@nonlcon)
%运行结果：
x =1.1398 0.9324
fval = -0.8348
exitflag = 1
output =
包含以下字段的 struct:
iterations: 9
funcCount: 30
constrviolation: 0
stepsize: 4.1710e-06
algorithm: 'interior-point'
firstorderopt: 4.6284e-07
cgiterations: 0
message: 'Local minimum found that satisfies the constraints.↵↵Optimization completed because the objective function is non-decreasing in ↵feasible directions, to within the default value of the optimality tolerance,↵and constraints are satisfied to within the default value of the constraint tolerance.↵↵Stopping criteria details:↵↵Optimization completed: The relative first-order optimality measure, 4.628370e-07,↵is less than options.OptimalityTolerance = 1.000000e-06, and the relative maximum constraint↵violation, 0.000000e+00, is less than options.ConstraintTolerance = 1.000000e-06.↵↵Optimization Metric Options↵relative first-order optimality = 4.63e-07 OptimalityTolerance = 1e-06 (default)↵relative max(constraint violation) = 0.00e+00 ConstraintTolerance = 1e-06 (default)'
lambda =
包含以下字段的 struct:
eqlin: [0×1 double]
eqnonlin: [0×1 double]
ineqlin: 7.2833e-08
lower: [2×1 double]
upper: [2×1 double]
ineqnonlin: 0.2048
grad =
-0.2048
-0.4372
hessian =
6.0242 -6.4486
-6.4486 8.4952