6455. 【GDOI2020模拟02.01】小 D 的交通
题目
给你正整数 n n n，让你求任意一个 X X X，满足从 X X X开始的连续 n n n个整数通过以下条件联通：
对于两个数 u u u和 v v v，假如 u u u和 v v v不互质，那么它们之间就连上一条边。
n ≤ 100000 n\leq 100000 n≤100000
（记得打高精度）
思考历程
花了半天时间终于把题目换成了一个可以看的模型：
对于所有小于 n n n的质数 p i p_i pi， p i p_i pi的所有倍数（形如 X + i X+i X+i）都连在一起。
题目的条件是 X + i ≡ X + j ≡ 0 ( m o d p i ) X+i \equiv X+j \equiv 0 (\mod p_i) X+i≡X+j≡0(modpi)
简单推一下就是 i ≡ j ≡ − X ( m o d p i ) i\equiv j \equiv -X(\mod p_i) i≡j≡−X(modpi)
（接下来为了方便，我直接将 − X -X −X变成 X X X）
于是就有了更好看的模型：对于数列 0.. n − 1 0..n-1 0..n−1，对于每个质数 p i p_i pi，钦定一个数 a i a_i ai，表示所有满足 x ≡ a i ( m o d p i ) x\equiv a_i (\mod p_i) x≡ai(modpi)的都连在一起。
至于 X X X，做中国剩余定理就可以求出来了。
现在的问题时怎么构造，而我不会……
所以就暴力构造，如果合法就用中国剩余定理求。
得分和纯暴力没有什么两样。
正解
先说一说一个更加优美些的暴力该怎么做。
对于某个大于 n 2 \frac{n}{2} 2n的质数 p i p_i pi，很显然它只能连接两个点。
由于考虑 p 1 p_1 p1（也就是 2 2 2）的时候就已经将距离为偶数的点连起来了，所以对于某个奇素数 p i p_i pi连向了某个数 x x x，如果它没有在 p 1 p_1 p1的时候被连到，那么它连向的 x + p i x+p_i x+pi（或 x − p i x-p_i x−pi）一定在 p 1 p_1 p1的时候被连到了（因为 p i p_i pi为奇数）
所以，在暴力了 n 2 \frac{n}{2} 2n之前的质数之后，剩余的质数贪心地去捡漏就好了。
题解说这样可以过掉 n ≤ 40 n\leq 40 n≤40，但实测出只能过 n ≤ 31 n\leq 31 n≤31。
接下来就是题解的奇妙构造大法。
考虑假如我们把第一个点（也就是 0 0 0）作为核心点（就是 a i ≡ 0 ( m o d p i ) a_i\equiv 0 (\mod p_i) ai≡0(modpi)），就会发现除了第二个点（ 1 1 1）之外，其它的点都会被接上。
于是我们考虑怎么让它被连到。
然而在这个情况下，已经没有素数供我们使用了。
考虑将核心点放在中间（记为 m i d mid mid），容易发现只有 m i d − 1 mid-1 mid−1和 m i d + 1 mid+1 mid+1没有被连上。
找到最大的小于 n 2 \frac{n}{2} 2n的两个素数，分别将 m i d − 1 mid-1 mid−1和 m i d + 1 mid+1 mid+1连上。
由于这两个素数被侵占了，所以会多出几个位置没有连上。
n 2 \frac{n}{2} 2n以上的素数我们还没有用过，那就随便连连即可。
接下来有个问题：有没有可能素数不够用？？
实践表明，有这种情况……在 n ≤ 31 n\leq 31 n≤31的时候还是自己跑暴力吧。
不过更大的数，似乎都可以（这就要靠实践了……）
我猜想 n > 31 n>31 n>31都可以用这个方式构造出来，但是不会证。
如果能证的话，GMH大爷提供了一条定理，可以参考一下：
伯特兰-切比雪夫定理
代码
SRC Download
using namespace std;
#include 总结
实践出真知。