KMeans——最简单的聚类算法

 

什么是聚类（Clustering）

聚类并非一种机器学习专有的模型或算法，而是一种统计分析技术，在许多领域得到广泛应用。

广义而言，聚类就是通过对样本静态特征的分析，把相似的对象，分成不同子集（后面我们将聚类分出的子集称为“簇”），被分到同一个子集中的样本对象都具有相似的属性。

在机器学习领域，聚类属于一种无监督式学习算法。

许多聚类算法在执行之前，需要指定从输入数据集中产生的分簇的个数。除非事先准备好一个合适的值，否则必须决定一个大概值，这是当前大多数实践的现状。我们今天要讲的 KMeans 就是如此。

常用的几种距离计算方法

通常情况下，在聚类算法中，样本的属性主要由其在特征空间中的相对距离来表示。这就使得距离这个概念，对于聚类非常重要。

在正式讲解聚类算法之前，我们先来看几种最常见的距离计算方法。

欧氏距离（又称 2-norm 距离）

在欧几里德空间中，点 x=(x1,...,xn)和 y=(y1,...,yn)

之间的欧氏距离为：

d(x,y)=√(x1−y1)2+(x2−y2)2+⋯+(xn−yn)2=√∑ni=1(xi−yi)2

在欧几里德度量下，两点之间线段最短。

余弦距离（又称余弦相似性）

两个向量间的余弦值可以通过使用欧几里德点积公式求出：

a⋅b=∥a∥∥b∥cosθ

所以：

cos(θ)=a⋅b||a||||b||

也就是说，给定两个属性向量 A和 B，其余弦距离（也可以理解为两向量夹角的余弦）由点积和向量长度给出，如下所示：

cos(θ)=A⋅B∥A∥∥B∥=n∑i=1Ai×Bi√n∑i=1(Ai)2×√n∑i=1(Bi)2

这里的 Ai和 Bi 分别代表向量 A 和 B的各分量。

给出的余弦相似性范围从 −1到 1：

−1意味着两个向量指向的方向截然相反；

1表示它们的指向是完全相同的；

0则表示它们之间是独立的；

[−1,1]之间的其他值则表示中间程度的相似性或相异性。

曼哈顿距离（Manhattan Distance, 又称 1-norm 距离）

曼哈顿距离的定义，来自于计算在规划为方型建筑区块的城市（如曼哈顿）中行车的最短路径。

假设一个城市是完备的块状划分，从一点到达另一点必须要沿着它们之间所隔着的区块的边缘走，没有其他捷径（如下图）：

 

因此，曼哈顿距离就是：在直角坐标系中，两点所形成的线段对 x和 y

轴投影的长度总和。

从点 (x1,y1)到点 (x2,y2)，曼哈顿距离为：

|x1−x2|+|y1−y2|

其他距离

除了上述最常用的几种距离之外，还有其他多种距离计算方法，例如：Infinity norm（又称 Uniform norm，一致范式）、马氏距离、汉明距离（Hamming Distance）等。

在本课的例子中，计算距离时，如无特别说明，采用的都是欧氏距离。

KMeans

什么是 KMeans

简单来说，KMeans 是一种聚类方法，k是一个常数值，由使用者指定，这种算法负责将特征空间中的 n 个向量聚集到 k

个簇中。

比如，下图就是一个 k=3的 KMeans 算法聚类前后的情况。

 

算法步骤

其算法运行过程大致如下：

Step 0：用户确定 k值，并将 n 个样本投射为特征空间（一般为欧氏空间）中的 n 个点（k⩽n）；

Step 1：算法在这 n个点中随机选取 k个点，作为初始的“簇核心”；

Step 2：分别计算每个样本点到 k个簇核心的距离（这里的距离一般取欧氏距离或余弦距离），找到离该点最近的簇核心，将它归属到对应的簇；

Step 3：所有点都归属到簇之后，n个点就分为了 k个簇。之后重新计算每个簇的重心（平均距离中心），将其定为新的“簇核心”；

Step 4：反复迭代 Step 2 - Step 3，直到簇核心不再移动为止。

算法的执行过程可用下图直观地表现出来：

 

计算目标和细节

上面给出的 Step 3 在一次各个点归入簇中的迭代完成后，要重新计算这个簇的重心位置。

重心位置是根据簇中每个点的平均距离来计算的。这个平均距离如何算出？

要明确算法细节，首先要搞清楚 KMeans 算法的目标——在用户提供了 k值之后，以一种什么样的原则来将现有的 n 个样本分成 k簇才是最理想的？

目标

有 n个样本 (x1,x2,…,xn)， 每个都是 d 维实向量，KMeans 聚类的目标是将它们分为 k 个簇（k⩽n)，这些簇表示为 S=(S1,S2,…,Sk)。KMeans 算法的目标是使得簇内平方和（Within-cluster Sum of Squares，WCSS ）最小：

min∑ki=1∑x∈Si∥x−μi∥2

其中 μi是 Si的重心。

分配

Step 2 又叫做分配（Assignment）。设此时为时刻 t，t 时刻 Si 的簇核心为 μ(t)i。将某个样本点 xp归入到簇 S(t)i的原则是：它归入该簇后，对该簇 WCSS 的贡献最小：

S(t)i={xp:∥∥xp−μ(t)i∥∥2⩽∥∥xp−μ(t)j∥∥2∀j,1⩽j⩽k}

因为 WCSS 等于簇中各点到该簇核心的欧氏距离平方和，又因为在每次进行 Step 2 之前，我们已经认定了当时所有簇的簇核心 μ(t)i，i=1,2,...,k已经存在。因此只要把 xp分配到离它最近的簇核心即可 。

注意：尽管在理论上 xp可能被分配到 2个或者更多的簇，但在实际操作中，它只被分配给一个簇。

更新

Step 3 又叫做更新（Update）。这一步要重新求簇核心，具体计算非常简单，对于该簇中的所有样本求均值就好：

μ(t+1)i=1∣∣S(t)i∣∣∑xj∈S(t)ixj

其中 |Si|表示 Si中样本的个数。

启发式算法

启发式算法（Heuristic Algorithm）：是一种基于直观或经验构造的算法。

相对于最优化算法要求得待解决问题的最优解，启发式算法力求在可接受的花费（消耗的时间和空间）下，给出待解决问题的一个可行解，该可行解与最优解的偏离程度一般不能被预计。

启发式算法常能发现不错的解，但也没办法证明它不会得到较坏的解；它通常可在合理时间解出答案，但也没办法知道它是否每次都可以这样的速度求解。

虽然有种种不确定性，且其性能无法得到严格的数学证明，但启发式算法直观、简单、易于实现。

即使在某些特殊情况下，启发式算法会得到很坏的答案或效率极差，然而造成那些特殊情况的数据组合，也许永远不会在现实世界出现。

因此现实世界中启发式算法常用来解决问题。

上面我们讲的是最常见的用于实现 KMeans 的启发式算法：Lloyd's 算法。Lloyd's 算法是一种很高效的算法，通常情况，它时间复杂度是 O(nkdi)，其中 n 为样本数，k 为簇数，d 为样本维度数，而 i为从开始到收敛的迭代次数。如果样本数据本身就有一定的聚类结构，那么收敛所需的迭代次数通常是很少的，而且一般前几十次迭代之后，再进行迭代，每次的改进就很小了。因此，在实践中，Lloyd's 算法往往被认为是线性复杂度的算法，虽然在最糟糕的情况下时间复杂度是超多项式（Superpolynomial）的。目前，Lloyd's 算法是 KMeans 聚类的标准方法。当然，每一次迭代它都要计算每个簇中各个样本到簇核心的距离，这是很耗费算力的。不过好在，大多数情况下，经过头几轮的迭代后，各个簇就相对稳定了，大多数样本都不会再改变簇归属，可以利用缓存和三角形公理来简化后续的计算。

局限

KMeans 简单直观，有了启发式算法后，计算复杂度也可以接受，但存在以下问题。

k值对最终结果的影响至关重要，而它却必须要预先给定。给定合适的 k值，需要先验知识，凭空估计很困难，或者可能导致效果很差。初始簇核心一般是随机选定的，偏偏它们又很重要，几乎可以说是算法敏感的——一旦选择的不合适，可能只能得到局部的最优解，而无法得到全局的最优解。当然，这也是由 KMeans 算法本身的局部最优性决定的。

这也就造成了 KMeans 的应用局限，使得它并不适合所有的数据。

例如，对于非球形簇，或者多个簇之间尺寸和密度相差较大的情况，KMeans 就处理不好了。

实例（对比 KMeans 和 KNN）

KMeans 实例

下面是一个简单的 KMeans 实例，其中的训练样本是10个人的身高（cm）、体重（kg）数据：

    from sklearn.cluster import KMeans
    import numpy as np
    import matplotlib.pyplot as plt

    X = np.array([[185.4, 72.6], [155.0, 54.4], [170.2, 99.9], [172.2, 97.3], [157.5, 59.0], [190.5, 81.6], [188.0, 77.1], [167.6, 97.3], [172.7, 93.3], [154.9, 59.0]])

    kmeans = KMeans(n_clusters=3, random_state=0).fit(X)
    y_kmeans = kmeans.predict(X)
    centroids = kmeans.cluster_centers_

    plt.scatter(X[:, 0], X[:, 1], s=50);
    plt.yticks(())
    plt.show()

    plt.scatter(X[:, 0], X[:, 1], c=y_kmeans, s=50, cmap='viridis')
    plt.scatter(centroids[:, 0], centroids[:, 1], c='black', s=200, alpha=0.5);
    plt.show()

原始训练输入如下：

 

KMeans 聚类后，它们被分到3个簇：

 

我们可以预测一下两个新的样本：

print(kmeans.predict([[170.0, 60], [155.0, 50]]))

得到输出如下：

[1 1]

1 对应的是哪个簇呢？我们看看训练样本的归属：

print(y_kmeans)

输出为：

[0 1 2 2 1 0 0 2 2 1]

可见，1 对应的是分簇图中左下角的那一簇。

KNN 实例

同样的问题，如果我们要用 KNN 来解决，应该如何呢？我们指望只输入原始身高体重数据是不够的，还必须要给每组数据打上标签，将标签也作为训练样本的一部分。如何打标签呢？我们就用上面 KMeans 的输出好了：

    from sklearn.neighbors import KNeighborsClassifier

    X = [[185.4, 72.6],
    [155.0, 54.4],
    [170.2, 99.9],
    [172.2, 97.3],
    [157.5, 59.0],
    [190.5, 81.6],
    [188.0, 77.1],
    [167.6, 97.3],
    [172.7, 93.3],
    [154.9, 59.0]]
    y = [0, 1, 2, 2, 1, 0, 0, 2, 2, 1]

    neigh = KNeighborsClassifier(n_neighbors=3)
    neigh.fit(X, y)

然后我们也来预测和 KMeans 例子中同样的新数据：

    print(neigh.predict([[170.0, 60], [155.0, 50]]))

最后输出结果为：

[1 1]