图论经典算法整理

草稿箱放风2.0。躺了几个月到几年不等的草稿们终于迎来了春天。

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之前在《数据结构》的课程、《离散数学》的课程，甚至《计算机图形学》中都接触过图论算法，现在网上搜罗若干经典图论算法，以便后用。

1-3中，待求网络是带权图，所谓的“短”和“小”指的是权值最小。

1. Dijkstra算法

求单源最短路径的算法。即求网络中某个特定点v到网络中其他所有节点的最短路径。

2. Floyd算法

求网络中任意两点间最短路径的算法。

3. Prim算法

求连通图中最小生成树的算法。

最小生成树即由网络中的节点和边组成的树，该树连接了网络中的所有节点。

4. 拓扑排序算法

给有向无环图中的节点排序：若(i,j)是网络中的边，则在排序中i在j的前面。 

应用：有向无环图可看成AOV活动网。节点可看作某种活动，边（i,j）表示活动i必须先与活动j进行。如，一个学生选课，数据结构的先修课是计算机基础，那么只有修完计算机基础之后才能修数据结构。拓扑排序相当于给出了一个上课的顺序。

5. 最大流问题

最大流研究的网络用G(V,E,C)表示。其中，V，E，C分别表示节点集合，边集合，以及边的容量集合。

网络的最大流，即在一个单源点，但汇点的网络流中找到一条容量最大的路径。

对于多源点、多汇点的情况：在网络中增加s和t两个点，其中s连接所有源点，t连接所有汇点，连边的权重设为无穷。

6. 最小割问题

割：设网络中一些弧的集合为C。若在网络中去掉C中所有弧能使得从源点s到汇点t的路集为空，称C为s和t间的一个割。

最小割：图中所有割中，边权值和最小的割。

最小割定理：任一网络中，从s到t的最大流的流量等于分离s，t的最小割的容量。

求最大流的算法：Ford-Fulkerson算法。通过寻找增光路径的方法寻找最大流。即，先找到一条可行流，计算其流量。详情参照：https://blog.csdn.net/ivan_zgj/article/details/51580993，http://www.zhiblue.com/xinxi/guangdian/201311/119.html

应用：物流配送规划，二分图匹配问题

7. 最小费用最大流

此问题研究的网络用G(V,E,C,W)表示。其中，V，E，C，W分别表示节点集合，边集合，边的容量集合，以及边的费用。

求出的是，流量v(f)最大的前提下，使流的费用cost(f)最小的路径。

8. 二分图匹配问题：匈牙利算法

可参考：https://blog.csdn.net/m0_37719760/article/details/77607666，https://blog.csdn.net/c20180630/article/details/70175814

给二分图两边的节点两两配对。中心思想是“挪”。将当前节点v和对应的第一个节点s配对，如果另一节点r已经和s配对了，就把r的配对节点换掉，把v配对到s。