【母函数|生成函数】学习母函数

参考文献（尊重原创）：

二项式定理

递归和母函数

母函数（对于初学者的最容易理解的）

---

例题：

普通母函数：

找单词                   题解

摆花                       题解

指数性母函数：

"红色病毒"问题     题解（暂无） 

 

---

母函数是什么？

      母函数是求解组合数学中计数问题的重要方法，其效率高，编程规范，容易实现。但是，母函数的思想起源和最早应用确实在概率方面。母函数有两种形式，普通型母函数和指数型母函数

                                                                                                  ——《信息学奥赛之数学一本通》

---

 

普通型母函数：

1、把组合问题的加法法则和幂级数的的乘幂的相加对应起来

2、把离散数列间的相互结合关系对应成为幂级数间的运算关系

什么是普通母函数呢，——把组合问题的加法法则和幂级数的的乘幂的相加对应起来，这句话可能一开始难以理解，不过其实学完了之后很容易理解，母函数的思想很简单—就是把离散数列和幂级数一一对应起来，把离散数列间的相互结合关系对应成为幂级数间的运算关系，最后由幂级数形式来确定离散数列的构造。

 

---

普通型母函数补充知识：

两个基本计数原理：

1、加法原理：

设事件A有n类方式，每一类方式Ai 中都有mi 中方法，而在Ai , Aj 中任何两种方法都不相同，则完成事件A中的方法共有：

                                        

例子：

以吃饭为例子，我们可以选择不同的主食来进食，我们可以选择面条，米饭，包子，饼等。

但是我们主要选择一种 主食，那么通常都不会选其他的主食（即事件相互独立）。

但是我们每选择一种主食，我们都有不同的选择：

如面条有：打卤面，炸酱面，拌面，米线，羊肉汤面，小骨汤面，大骨汤面……

如包子有：白菜包子，猪肉包子，牛肉包子，韭菜包子，三鲜包子……

如饼有：烤饼，各类馅饼（青椒、豆腐、头菜、胡萝卜、白菜、猪肉、牛肉）……

…………

所以我们选择主食的选择就是把全部可以选择的主食加起来

如上：选择主食的事件，共有：7+5+8=20种可能

---

2、乘法原理：

设事件A需要分n个步骤做完,每一类方式Ai中都有mi种方法，则完成事件A的方法共有

                                           

例子：

为了构成美好生活的一天，我们吃的选择多了。

早餐有：3种馅饼选择（青椒，头菜，肉）

午餐有：两种面条选择（打卤面，炸酱面）

晚餐有：两种面条选择（打卤面，炸酱面）

请问一天内，有多少种情况构成美好的一天呢？

答案：

ans=3*2*2=12种

（早、中、晚）三个独立的事件，而每个事件有对应的选项，满足乘法原理。

---

二项式定理：

1、定义：

2、二项式 (a+b)^n 展开式的特点：

3、两个常用的二项展开式 

4、杨辉三角_二项式展开式系数

递推关系式：

 

从组合数学的角度来讲：

例如:

比如我们从5个球(球有序号)里拿3个球的

---

练习：

高中数学题目：

展开式中   和   的系数是多少？

解：

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1、的系数为：

2、的系数为：

---

 

 有重量为1、2、3（克）砝码各三个，问：

1、如上图，请问从源点到汇点共有多少种情况？

2、可以称出多少种不同重量的物品？

3、若要称出重量为7克的物品，所使用的砝码有多少中本质上的不同的情况？

---

解：

1、所有情况总共为：

2、3+6+9=18（种）不同重量的物品

3、若要称出7克的物品？？？？？？？

解法（1）、枚举。

解法（2）、普通型母函数

对于每一种砝码来讲，以它自身取多少个砝码为独立事件。

就是说，完成一次称重，必须从1g，2g，3g砝码中选取。

至于具体从1g砝码里选取多少个，需要看1g砝码有多少个？

 

那么砝码种类之间存在的是乘法关系，而选取砝码个数存在的是加法关系。

 

设a，b，c分别为1g,2g,3g砝码，那么下标代表拿去多少个砝码？

例如： 代表的是：两个重量为1g的砝码。

我们把一次称重的事件设为:W

我们写成编译语言：

转化为命题联结词：

 转化为数字逻辑：

发现：砝码种类之间存在的是乘法关系，而选取砝码个数存在的是加法关系

 

问题来了？请问怎样表示这个 ，……等事件呢？

我们看看结果  写成   主析取范式：

 

共有64项相加的结果。

那么我们通过怎样的构造这个事件来达到，对于砝码种类里选择是相加关系，对于砝码种类之间是相乘关系呢？

——>用数学的符号表示出来，有没有一种运算，以乘法的形式运算，得到的结果类似加法的关系呢？

 

 

 

 

 

 

 

 

“幂运算”

构造成：幂运算主要是由于

1、在事件内加法原理时，事件保持相互独立。

2、在做乘法运算时明显满足乘法原理的。

 

返回去看结果表达的意思：

某一个事件 ：     

表示1g砝码拿了1个，2g砝码拿了2个，3g砝码拿了3个的一个事件。

 

 

 

 

 

 

 

 

表示构成 能够称重为14g的一个事件。

 

 

 

 

所以我们需要构造出来

幂形式表示事件：

 

指数表示：根据实际情况进行构造，其中在例子中表示：能够称重多少g

系数表示：事件的方案数，在例子中表示称重   对应指数的重量的事件

：含义为：表示1g砝码拿了1个，2g砝码拿了2个，3g砝码拿了3个，能够称重为14g的一个事件。

表示成：

 

在例子中构造成普通型母函数：

 

 

G(x)=……………………

其中G是generate，生成的意思

母函数=生成函数（Generating function）

 

请问这个G(x)中x有没有意义，请说明原因？

贴上代码 ( 模拟多项式乘法 ) ：

#include
using namespace std;
const int N=1e2;
int n,a[N],b[N],c1[N],c2[N],Max_index;
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=0;i

---

指数型母函数：

准备知识：泰勒公式、不全相异的全排列。

不全相异的全排列：

例题1:

3个红球，1个白球，问有多少种排列（球无差异）？

枚举：

1、白红红红

2、红白红红

3、红红白红

4、红红红白

例题2:

3个红球，2个白球，问有多少种排列（球无差异）？

分两种情况，白球是分开的，白球是一起的。

例题3：

n个红球，m个白球，问有多少种排列（求无差异）？

---

指数型母函数：

指数型母函数有如下定理来描述：

从多重集合中选取k个元素的排列中，若限定元素出现的次数集合为，则该组合数序列的母函数为：

                                                              

比较普通型母函数和指数型母函数，可以看出普通性母函数的标志函数为1,x,x^2……,而指数型母函数的标志函数为1,x/1!,x^2/2!,x^3/3!,…….指数性母函数的标志函数的物理意义可以这样理解。对于xj/j!表示在一个方案中某个元素出现了j次，而在不同的位置中j次出现是相同的，所以在计算排列总数时，只应算作一次。由排列组合的知识知道，最后的结构应该除以j！。

另外在指数性母函数的使用过程中，一盘都会用到高等数学里介绍的e^x的Taylor展开式：

---

例题：设有六个数字，其中三个数字是1，两个数字6，一个数字8，问能有组成多少个四位数？

问题分析：

这实际上求的是S={3x1,2x2,1x3}中取四个的多重集排列数问题，其指数型母函数为：

所以，可以组成38个四位数。

设a,b,c为1,6,8.其中下标为取了多少个，能组合成不同位，不同的数字的事件为G。

把事件G用编译语言表达：

用命题联结词表示：

转化为数字逻辑语言：

我们知道需要用到幂级数把事件表示出来，但是这个问题增加了一个排列组合的，

如何构造才能使得两个事件乘积，会得到下一个事件的方案数。

 

后来指数型母函数给出了答案。

它的构造结构为：

 

指数：根据实际情况有不同的含义，例子中为：多少位数字

系数：对应于指数的情况下的   方案数

分母:  与指数相对应的阶乘

---