交集 [背包撤销, 动态规划]

$$交集$$

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$正解部分$

若路径并为 $P(u,v)$, 形态如上图所示, 则 答案 等于以 $u$ 为根的子树中选择 $k$ 个起点的方案数 乘上 以 $v$ 为根的子树中选择 $k$ 个终点的方案数, 且要满足 $k$ 个点 两两 都分别以 $u$, $v$ 为 $lca$

设 $F[i,j]$ 表示 整棵树以 $i$ 节点为根 的子树中有 $j$ 个子树有球的方案数 (每个子树有一个球),

则 $F[i,j]=F[to,j-1]\times siz{e}_{to}$,

当询问 $u,v$ 时, 分别去除 $u$ $v$ 相对方向子树的贡献,

再分别枚举 $u$, $v$ 本身放置几个点, 以 $u$ 为例, 在 $u$ 的子树里放置 $i$ 个节点, 方案数为 $\left(\begin{array}{c}k\\ i\end{array}\right)\cdot F[u,i]\cdot i!$ .

得到方案数后, 相乘即为答案 .

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$实现部分$

• 对于去除贡献的操作, 做一次反背包即可 .

#include
#define reg register

const int maxn = 100005;
const int maxl = 502;
const int mod = 998244353;

int read(){
        char c;
        int s = 0, flag = 1;
        while((c=getchar()) && !isdigit(c))
                if(c == '-'){ flag = -1, c = getchar(); break ; }
        while(isdigit(c)) s = s*10 + c-'0', c = getchar();
        return s * flag;
}

int N;
int M;
int Q_;
int num0;
int du[maxn];
int dep[maxn];
int fac[maxn];
int inv[maxn];
int ifac[maxn];
int size[maxn];
int head[maxn];
int Fk[maxn][20];
int F[maxn][maxl];

struct Edge{ int nxt, to; } edge[maxn << 1];

void Add(int from, int to){ edge[++ num0] = (Edge){ head[from], to }; head[from] = num0; }

int C(int n, int m){ return 1ll*fac[n]*ifac[n-m]%mod*ifac[m]%mod; }

void add(int k, int s){
        du[k] ++;
        for(reg int i = du[k]; i >= 1; i --)
                F[k][i] = (F[k][i] + 1ll*F[k][i-1]*s%mod) % mod;
}

void del(int k, int s){
        for(reg int i = 1; i <= du[k]; i ++) 
                F[k][i] = (F[k][i] - 1ll*F[k][i-1]*s%mod + mod) % mod;
        du[k] --;
}

void DFS(int k, int fa){
        size[k] = 1, dep[k] = dep[fa] + 1;
        for(reg int i = 1; i <= 19; i ++) Fk[k][i] = Fk[Fk[k][i-1]][i-1];
        F[k][0] = 1;
        for(reg int i = head[k]; i; i = edge[i].nxt){
                int to = edge[i].to;
                if(to == fa) continue ;
                Fk[to][0] = k; DFS(to, k);
                size[k] += size[to], add(k, size[to]);
        }
        if(fa) add(k, N - size[k]);
}

int Lca(int a, int b){
        if(dep[a] < dep[b]) std::swap(a, b);
        for(reg int i = 19; i >= 0; i --)
                if(dep[Fk[a][i]] >= dep[b]) a = Fk[a][i];
        if(a == b) return a;
        for(reg int i = 19; i >= 0; i --)
                if(Fk[a][i] != Fk[b][i]) a = Fk[a][i], b = Fk[b][i];
        return Fk[a][0];
}

int jump(int x, int lim){
        for(reg int i = 19; i >= 0; i --)
                if(dep[Fk[x][i]] > lim) x = Fk[x][i];
        return x;
}

int calc(int k, int s){
        int res = 0, lim = std::min(s, du[k]);
        for(reg int i = 0; i <= lim; i ++)
                res = (res + 1ll*C(s, i)*F[k][i]%mod*fac[i]%mod) % mod;
        return res;
}

int main(){
        N = read(), Q_ = read(), M = read();
        inv[1] = 1; for(reg int i = 2; i < maxn; i ++) inv[i] = ((-1ll*mod/i*inv[mod%i])%mod + mod) % mod;
        fac[0] = 1; for(reg int i = 1; i < maxn; i ++) fac[i] = 1ll*fac[i-1]*i % mod;
        ifac[0] = 1; for(reg int i = 1; i < maxn; i ++) ifac[i] = 1ll*ifac[i-1]*inv[i] % mod;
        for(reg int i = 1; i < N; i ++){
                int u = read(), v = read();
                Add(u, v), Add(v, u);
        }
        DFS(1, 0);
        while(Q_ --){
                int u = read(), v = read(), k = read();
                if(dep[u] > dep[v]) std::swap(u, v);
                int lca = Lca(u, v), fuck;
                if(lca == u) fuck = size[jump(v, dep[u])];
                else fuck = N - size[u]; 
                del(u, fuck), del(v, N - size[v]);
                printf("%lld\n", 1ll*calc(u, k)*calc(v, k)%mod);
                add(u, fuck), add(v, N - size[v]);
        }
        return 0;
}