丘成桐：我做学问的经验和感受
哈佛大学终身教授、菲尔兹奖获得者丘成桐教授
作者简介：丘成桐为美国哈佛大学数学与物理教授，美国科学院院士，中国科学院外籍院士，菲尔兹奖、克拉福德奖、沃尔夫奖得主。发展了强有力的偏微分方程技巧，使得微分几何学产生了深刻的变革，解决了卡拉比（Calabi）猜想、正质量猜想等众多难题，影响遍及理论物理和几乎所有核心数学分支。筹资成立浙江大学数学科学研究中心、香港中文大学数学研究所、北京晨兴数学中心和清华大学丘成桐数学科学中心等学术机构，并担任主任；1998 年创立世界华人数学家大会（ICCM），毎三年举办一次。由于对中国数学发展的突出贡献，获得 2003 年度中华人民共和国科学技术合作奖。科普著作有《大宇之形》（2012）、《从万里长城到巨型对撞机》（2016）、《简史：哈佛数学150年》（即将出版），主编科普杂志《数理人文》和丛书《数学与人文》。
摄于加州大学伯克利分校
今天我想谈谈本人五十年来做学问的经验和对数学科学的感受：从我做研究生开始，我的学问对象以微分几何为主，以微分方程为主要工具，逐渐涉猎到广义相对论，代数几何学，拓扑学，弦论，图论，计算机图像处理等等不同的学科。
摄于纽约石溪大学
我现在哈佛大学的数学系和物理系当教授。也带领一批人做工程学的问题。我研究的学问看起来杂乱无章。其实吾道一以贯之。我做研究生时的基本想法直到现在还在支配着我的硏究方向。
摄于哈佛大学
四十多年来，我不断学习新的知识和方法，这些知识和方法不断在完善我做学问的构想，扩大解决问题的蓝图。对于我来说，自然界中有趣的事情都值得去研究、推理、描述。所有有科学意义的研究都需要在理性的基础上去探讨。
至于如何去描述现象，却是相当主观的事！在物理学，化学，生物学，社会科学等领域，人们尝试建立不同的数学模型，希望能作较精确的描述和预测。由于每个人见到的现象会有不同的差异，甲描述的是大象的脚，乙描述的却是大象的鼻子，结论往往差天共地。所以必须做理性的、全面的、仔细的分析，只有这样才能得到正确的结论。而理性的分析往往依赖数学这武器。
为什么我选择当数学家？其中一个原因是天下间没有任何一门学科比数学的推理来得严格，数学家有胆量说我们创造出来的定理的确是真理。只要在证明的过程中我们没有疏忽，每一步都是合乎逻辑的，我们的结论就必然正确。
这一点值得我们骄傲吗？不见得！毕竟我们可以写个计算机程序，瞬间推导出几十亿条定理，比我们书本上看到的定理加起来还多！但是，这些定理有意义吗？最可能的答案是：完全没有意义!
当一个定理脱离了现实，不能帮助我们了解自然界的内容和规律，一般来说，这种定理没有多大的意义！定理涵盖的自然现象愈多愈好，能够用简短的语言来表达大自然深奥的一面的，自然是好定理!
举个例子：中学数学的第一个重要的定理是勾股定理（也称毕氏定理），它描述平面上直角三角形的边长的代数关系，斜边的平方等于其它两边平方的和。这个定理是欧氏几何的基础。
假如一个直角三角形出现在球面上，勾股定理不再成立了！所以勾股定理可以用来探索空间的平坦性质：假如我们想知道我们身处的宇宙是否是一个平坦的空间，我们在宇宙中测试，只要找到一个直角三边形不满足勾股定理的结论，我们的宇宙就不是平坦的空间。
勾股定理是人类有史以来第一次用严格而逻辑的方法证明的定理，它简洁漂亮，令人赞叹不已。它不单单是几何学的始祖，也影响到数学中其它分枝。
毕氏学派发现直角三角形的两边长度都为一时，斜边的长度不可能是有理数！在当时，这是极为惊讶的结论!
因为毕氏学派的哲学观点是：宇宙万物都可以用有理数来描述，但是他们又不能不接受勾股定理严格证明的结论。据说学派中有学者受不了这个心理压力，跳海自杀了！其实他们大可不必这么忧郁，无理数因而诞生。我们对数字的想法比从前更加丰富了！
意大利卡比托利欧博物馆（ Musei Capitolini）中的毕达哥拉斯雕像
我为什么谈这个事情，除了指出：经不起数学考验的理论，都会是虚假的学问！最重要的一点，还要指出一个事实：当一个崭新的定理出现时，它本身往往简洁美丽，令人喜悦，同时也往往会开启一个新的视野，影响到整个学术的发展。
很多人问我什么叫做数学的美，其实美的切实描述及审评和个人的文化水平有密切的关系。我说勾股定理很美，那是我对它的本质和它的历史地位都有一定的认识。
但是这里有几个基本的性质:
它的普泛性：对任何直角三角形都行得通。从前中国，巴比伦，埃及，印度学者知道一些特殊的例子，只有毕氏才知道这个定律的一般形式！
它简洁有趣。
它揭露了几何空间的内在结构，让我们知道平坦空间的涵义。
它影响了其它学科的发展。由于它我们认识了无理数。也影响了二次曲线理论的发展。
我在香港中文大学读本科时，我就有想法：我也要创造一个类似的数学理论。但是这是谈何容易的事情？但是在不断的摸索后，逐渐了解到大自然对数学无远弗届的影响力。
摄于香港中文大学崇基学院
数学和其它科学一样，希望找到宇宙间统治万物的规律，从这些规律找到它以后可能会发生的事情。为了找到这些规律，我们也需要找到一个有效描述大自然的方法。
这个问题可以溯源于任何有智慧的民族的欲望。一方面为了生活的需求，一方面对自然界的好奇心，有时是对于大自然威力的恐惧，有时是对于大自然美丽的惊叹。形之于心而写诸于手，这就是文学，包括绘画和音乐在内，都是人心对自然界的反应。假如对这些现象再加以理性的分析，就成为科学！
明·陈洪绶「屈子行吟图」
从前屈原是中国最富有感情的诗人，对于大自然的现象极为敏锐，他写下的《天问》，就提出很多对自然现象的重要问题。但是屈原《天问》没有解答问题，因为它们需要理性的分析，而这些理性的分析必须要严格的验证才能有进步。
数学的研究从而产生，数学的论证赋予科学家自信，而应用到工业和日常生活的理论，必须要量化，因此数学是现代社会绝对不可缺少的学科。
我有一次和诺贝尔物理学奖得主 David Gross 夫妇说：物理学中没有永恒的真理，物理学家有辉煌的成就，可能极富创意，而且每一步都在逼近真理。但是数学则不然，每一歩都是永恒的真理，唯一可惜的是，没有创意的数学对于了解大自然，毫无意义！
Gross 和我是老朋友了，他太太还是不高兴我说这话。但是 Gross 却极为赞同。
作者与 Gross，Hawking，Strominger，Witten 参加 2002 年北京-杭州弦论大会，照片由浙大数学科学研究中心提供
由上所述，我们知道文学，物理学和数学都是人类与大自然交流而产生的学科。文学注重感性，但浓厚的感情却正是一切好的科学之源。
苏轼《前赤壁赋》说：
惟江上之清风，
与山间之明月，
耳得之而为声，
目遇之而成色！
所以客观的清风和明月，必须经过耳和目才能变成声和色。各人的耳和目有不同的能力，得岀来的声和色，自然不同。
台北故宮博物院藏苏轼书《前赤壁赋》
俄罗斯人，中国人和法国人在表达他们对大自然的感受时，受到他们历年积聚下来文化的影响，会得出不同的作品。
曾国藩
当年曾国藩集苏轼和王安石两句诗：
倚天照海花无数，
流水高山心自知。
从这里就可以见到他们三个学者有与众不同的看法和情操。现在的学者在做学问时，恐怕难以达到这个境界了。
四十多年前，我第一次接触到广义相对论的爱因斯坦方程，我极为兴奋。用几何的方法来描述宇宙的结构，是我一直梦想的事情。一百年前这些大物理学家和大数学家已经完成这个伟大事业的第一步，通过数学将想法变得实际，真真使人振奋！
爱因斯坦在维也纳讲演，摄于1921年。（来源：维基百科）
一百年前这些大物理学家和大数学家已经完成这个伟大事业的第一步，通过数学将想法变得实际，真真使人振奋!但即使这样成熟的学说，仍旧有很多重要的问题还未解决。四十多年来，我花了不少时间考虑时空的问题。
首先我考虑多维空间的问题，四十年前，我创造了以后叫做卡拉比-丘（Calabi-Yau）空间的理论。当时我受到广义相对论看法的影响，但是在深入研究这个问题时，我逐渐忘记了它对物理学有可能的贡献，因卡拉比-丘空间为这个问题从数学的观点来说美不可言！
它让我看到解析的方法可以通过几何在代数方面发挥作用！一下子将数学中三个不同的学科结合起来，由此我解决了数学上好几个重要的问题。
这个空间理论的结构是这样的自然有趣，我认为它对宇宙空间的结构有关，以后物理学的弦理论也真的用上了它，已经成为理论物理学一个重要组成部分。在探索多维空间的时期，我也考虑广义相对论中空间的稳定性和质量的问题。我这些工作都是从几何学切入物理学，意味泱然。
多年前，哈佛大学物理系因此邀请我做他们系的教授，我和物理学家更多讨论，更加接近了。两年前，我和几个同事在哈佛大学成立一个专门硏究宇宙黑洞的一个重大项目。这个项目里有天文系的系主任，有哲学系的教授，也有做计算的学者。
我记得我们邀请的第一个演讲嘉宾是一个华裔的从加州大学来的女天文学家马教授，她讲述她们在星河的中心发现的一个超级黑洞，使我觉得很兴奋。黑洞理论是一个很美的理论，其中黑洞重要的基础是由数学的方法发掘出来的。
五十年前，通过数学的证明，一群学者发现黑洞最后的稳定状态只是由它的质量和角动量决定。五十年来黑洞理论都和这个由数学验证出来的命题有关。这个理论不是由天文望远镜得到，反过来说，它指导着物理学的讨论和天文学上的观察。这真是一个漂亮的学问。
王国维
但是我们需要注意的是，所有数学理论都做一些假设，这些假设未必和自然界相合。当我们发现我们假设有问题时，必须修正！所以王国维提出的做学问三大境界中，就有“昨夜西风淍碧树”。就是说要除旧更新！
但是一般来说，成功修改后的理论使我们更认识大自然的奥妙，所以我们必须记得的是下面两句：
独上高楼，望尽天涯路。
我希望我们的年轻人都有望尽天涯路的情怀！谢谢各位！
【中央电视台《未来架构师》之“数学天才”丘成桐已于7月30日晚上在CCTV2播出】