求最长递增子序列问题
一， 最长递增子序列问题的描述
设L=<a1,a2,…,an>是n个不同的实数的序列，L的递增子序列是这样一个子序列Lin=<aK1,ak2,…,akm>，其中k1
二， 第一种算法：转化为LCS问题求解
设序列X=<b1,b2,…,bn>是对序列L=<a1,a2,…,an>按递增排好序的序列。那么显然X与L的最长公共子序列即为L的最长递增子序列。这样就把求最长递增子序列的问题转化为求最长公共子序列问题LCS了。
最长公共子序列问题用动态规划的算法可解。设Li=< a1,a2,…,ai>,Xj=< b1,b2,…,bj>，它们分别为L和X的子序列。令C[i,j]为Li与Xj的最长公共子序列的长度。则有如下的递推方程：
这可以用时间复杂度为O(n2)的算法求解，由于这个算法上课时讲过，所以具体代码在此略去。求最长递增子序列的算法时间复杂度由排序所用的O(nlogn)的时间加上求LCS的O(n2)的时间，算法的最坏时间复杂度为O(nlogn)＋O(n2)＝O(n2)。
三， 第二种算法：动态规划法
设f(i)表示L中以ai为末元素的最长递增子序列的长度。则有如下的递推方程：
这个递推方程的意思是，在求以ai为末元素的最长递增子序列时，找到所有序号在L前面且小于ai的元素aj，即j
这个算法由Java实现的代码如下：
public void lis(float[] L)
{
int n = L.length;
int[] f = new int[n];//用于存放f(i)值；
f[0]=1;//以第a1为末元素的最长递增子序列长度为1；
for(int i = 1;i
{
f[i]=1;//f[i]的最小值为1；
for(int j=0;j
{
if(L[j]
f[i]=f[j]+1;//更新f[i]的值。
}
}
System.out.println(f[n-1]);
}
这个算法有两层循环，外层循环次数为n-1次，内层循环次数为i次，算法的时间复杂度
所以T(n)=O(n2)。这个算法的最坏时间复杂度与第一种算法的阶是相同的。但这个算法没有排序的时间，所以时间复杂度要优于第一种算法。
四， 对第二种算法的改进
在第二种算法中，在计算每一个f(i)时，都要找出最大的f(j)(j
B[f(j)] = aj
在计算f(i)时，在数组B中用二分查找法找到满足j
lis1(float[] L)
{
int n = L.length;
float[] B = new float[n+1];//数组B；
B[0]=-10000;//把B[0]设为最小，假设任何输入都大于-10000；
B[1]=L[0];//初始时，最大递增子序列长度为1的最末元素为a1
int Len = 1;//Len为当前最大递增子序列长度，初始化为1；
int p,r,m;//p,r,m分别为二分查找的上界，下界和中点；
for(int i = 1;i
{
p=0;r=Len;
while(p<=r)//二分查找最末元素小于ai+1的长度最大的最大递增子序列；
{
m = (p+r)/2;
if(B[m]
else r = m-1;
}
B[p] = L[i];//将长度为p的最大递增子序列的当前最末元素置为ai+1;
if(p>Len) Len++;//更新当前最大递增子序列长度；
}
System.out.println(Len);
}
现在来证明这个算法为什么是正确的。要使算法正确只须证如下命题：
命题1：每一次循环结束数组B中元素总是按递增顺序排列的。
证明：用数学归纳法，对循环次数ｉ进行归纳。
当i=0时，即程序还没进入循环时，命题显然成立。
设i
命题2：B[c]中存储的元素是当前所有最长递增子序列长度为c的序列中，最小的最末元素，即设当前循环次数为i，有B[c]={aj| f(k)=f(j)=c∧k,j≤i+1→aj≤ak}(f(i)为与第二种算法中的f(i)含义相同)。
证明：程序中每次用元素ai更新B[c]时(c=f(i))，设B[c]原来的值为s，则必有ai
命题3：设第i次循环后得到的p为p(i+1)，那么p(i)为以元素ai为最末元素的最长递增子序列的长度。
证明：只须证p(i)等于第二种算法中的f(i)。显然一定有p(i)<＝f(i)。假设p(i)
算法的循环次数为n，每次循环二分查找用时logn，所以算法的时间复杂度为O(nlogn)。这个算法在第二种算法的基础上得到了较好的改进。
五， 总结
本论文只给出了计算解的大小而没有给出构造解的方法，因为我认为计算解的大小的算法已能给出对问题的本质认识，只要计算解大小的算法设计出，构造解就只是技术细节的问题了，而我关心的是怎样对问题得到很好的认识而设计出良好的算法。以上几种算法已用Java实现，都能得到正确的结果。在设计和改进算法时用到了基本的算法设计和分析、证明的基本方法，很好的锻炼了设计与分析算法的思维能力，让我从感性上认识到算法分析与设计的重要性，并且感受了算法分析、设计和改进的乐趣。