黑洞成像背后的算法 | 图像处理与反问题

黑洞成像背后的算法 | 图像处理与反问题_第1张图片

昨天,人类第一张黑洞图像被拍出来了。我也来回顾下黑洞背后的成像原理。

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本文很多资料来自我老板的课程:

http://bicmr.pku.edu.cn/~dongbin/Teaching_files/图像处理中的数学方法-18-19/index.html

和ted talk

https://www.ted.com/talks/katie_bouman_what_does_a_black_hole_look_like?language=en

[演讲者是mit csail phd今年开始在caltech任教]

图像处理经常被处理成反问题

什么是反问题


考虑正问题,是观测噪声,反问题就是在有了观测的条件下怎么获得真实图片u

如果A是一个恒同算子,反问题就是去燥

如果A是一个模糊,反问题就是去模糊

如果A是一个CT,反问题就是CT恢复

在将算法之前说一下这个问题意义,打个比方你要做核磁共振,你要绑在床上听着快一个小时噪声,那么你就希望这个算法进行sample 次数变少,那么如果我算法更厉害,你mri时间会越少。

有人说,这个问题简单就好了,那么如果A不可逆呢?

你说这个也简单,最小二乘啊,那么你就是没有考虑到--观测噪声

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考虑一个去模糊问题,如果有噪声,直接求逆结果会是怎么样的呢?

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噪声在求逆的时候无数倍的被放大了,产生了棋盘一样的artifact

那么怎么解决问题呢?加入正则项!

这里的R的作用时

  • 如果u不是“图片”,那么R值大一点

  • 如果u像一张图片,R的值小一点

数学家就花了很久来构造R,第一个成功的是total variation,定义为

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发明这个算法的stan osher教授也获得了应用数学最高奖 gauss 奖

https://www.math.ucla.edu/news/professor-stanley-osher-receives-highest-honor-applied-mathematics

当年这个算法也帮助LA破获了一起杀人案

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那么我来介绍这次的算法


对于simulate数据

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用了total variation的效果是

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参考 project page:

http://vlbiimaging.csail.mit.edu/

为什么呢,为了达到这个分辨尺度,根据测不准原理,他们需要整个地球半径的天文望远镜。但是事实上我们造不出来这么大的望远镜,只能用九个观测站点的数据来做。这是一个高度不适定的反问题,那么需要更好的正则项。

设计正则项他们用到的想法是学习

From Learning Models of Natural Image Patches to Whole Image Restoration

https://people.csail.mit.edu/danielzoran/EPLLICCVCameraReady.pdf

他们用高斯混合模型对图片patch进行建模,学习出图片patch的distribution作为上面问题的正则项。

ted talk里面还讲到他们用了多个数据集去学习,用日常图片,宇宙照片,望远镜数据。。学习出来了很多个正则项,发现恢复出来的图片都是这样的图片。

 

更加深刻一点


其实这种做法和传统的sparse coding有很大的类似

G. Yu, G. Sapiro, and S. Mallat, Solving inverse problems with piecewise linear estimators:

From Gaussian mixture models to structured sparsity, IEEE Transactions on Image Processing,

21 (2012), pp. 2481–2499. 

https://ieeexplore.ieee.org/document/6104390/

好处可能是

  • 可以用到外部干净数据

  • 非凸优化的局部最小值更少

Wipf David, Rao B D, Nagarajan S. Latent variable Bayesian models for promoting sparsity[J]. IEEE Transactions on Information Theory, 2011, 57(9): 6236-6255.

但是上面的分析都是单个gaussian的建模

据我所知用高斯混合模型来建模的理论分析到现在都很难。

顺便,这个小姐姐的研究都很有意思

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最有名的可能是这个根据墙后的照相机判断墙后有没有人

http://people.csail.mit.edu/klbouman/cornercameras.html

来源:@知乎:2prime

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