剑指offer面试题47(java版):礼物的最大价值

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剑指offer面试题47(java版):礼物的最大价值

题目描述

在一个 m*n 的棋盘的每一格都放有一个礼物，每个礼物都有一定的价值（价值大于 0）。
你可以从棋盘的左上角开始拿格子里的礼物，并每次向右或者向下移动一格、直到到达棋盘的右下角。
给定一个棋盘及其上面的礼物的价值，请计算你最多能拿到多少价值的礼物？

 

示例 1:

输入: 
[
  [1,3,1],
  [1,5,1],
  [4,2,1]
]
输出: 12
解释: 路径 1→3→5→2→1 可以拿到最多价值的礼物

第一次做; 动态规划; 因为每一次只能向右或者向下, 所以可以进行状态压缩, 压缩为一维数组; 状态压缩后, dp[j]表示原先的dp[i-1][j], dp[j-1]表示原先的dp[i][j-1]; 需要注意的是需要在外循环中单独维护每行的第一个元素, 也就是原先的dp[i][0]

class Solution {
    public int maxValue(int[][] grid) {
        int n = grid.length, m = grid[0].length;
        
        /*
        dp[i][j]表示从(0,0)到(i,j)路径上礼物的最大价值
        dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + grid[i][j];
        */
        //状态压缩后, dp[j]表示原先的dp[i-1][j], dp[j-1]表示原先的dp[i][j-1];
        int[] dp = new int[m];
        dp[0] = grid[0][0];
        for(int j=1; j<m; j++){
            dp[j] = dp[j-1] + grid[0][j];
        }
        for(int i=1; i<n; i++){
            //单独维护每行的第一个元素
            dp[0] = dp[0]+grid[i][0];
            for(int j=1; j<m; j++){
                /*
                状态压缩后, dp[j]表示原先的dp[i-1][j], dp[j-1]表示原先的dp[i][j-1];
                */
                dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j-1]) + grid[i][j];
            }
        }
        return dp[m-1];
    }
}

第一次做; 动态规划; 递推公式: dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + grid[i][j]; 可以发现动态规划的递推公式和暴力递归的递归调用很像, 但是是相反的, 比如说int rightRes = core(memo, grid, i, j+1); int downRes = core(memo, grid, i+1, j); 中涉及索引的变化是j+1和i+1, 而在动态规划中是j-1和i-1, 为什么会这样? 因为dp[i][j]和递归函数逻辑不通, dp[i][j]是从(0,0)到(i,j)路径上礼物的最大价值, 而递归函数逻辑是从(i,j)到(n-1,m-1)路径上礼物的最大价值; 在dp中(i,j)是终点, 因为动态规划是自底向上的; 在递归函数中(i,j)是起点, 因为递归是自顶向下分析的

class Solution {
    public int maxValue(int[][] grid) {
        int n = grid.length, m = grid[0].length;
        
        /*
        dp[i][j]表示从(0,0)到(i,j)路径上礼物的最大价值
        dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + grid[i][j];
        */
        int[][] dp = new int[n][m];
        dp[0][0] = grid[0][0];
        for(int i=1; i<n; i++){
            dp[i][0] = dp[i-1][0] + grid[i][0];
        }
        for(int j=1; j<m; j++){
            dp[0][j] = dp[0][j-1] + grid[0][j];
        }
        for(int i=1; i<n; i++){
            for(int j=1; j<m; j++){
                dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + grid[i][j];
            }
        }
        return dp[n-1][m-1];
    }
}

第一次做; 递归; 使用memo数组进行优化

class Solution {
    public int maxValue(int[][] grid) {
        int n = grid.length, m = grid[0].length;
        int[][] memo = new int[n][m];
        for(int[] arr : memo){
            Arrays.fill(arr, -1);
        }
        
        return core(memo, grid, 0, 0);
    }
    
    //递归函数功能: 返回从(i,j)到(n-1,n-1)路径上礼物的最大价值
    //递归函数逻辑: (i,j) 向右走的价值, (i,j)向左走的价值, 选择值更大的那个
    private int core(int[][] memo, int[][] grid, int i, int j){
        //base case
        int n = grid.length, m = grid[0].length;
        if(i>=n || j>=m)
            return 0;
        if(memo[i][j]!=-1)
            return memo[i][j];
        if(i==n-1 && j==m-1)
            return grid[i][j];
        //
        int rightRes = core(memo, grid, i, j+1);
        int downRes = core(memo, grid, i+1, j);
        memo[i][j] = Math.max(rightRes, downRes) + grid[i][j];
        return memo[i][j];
    }
}

第一次做; 暴力递归; 超时25/61; 这道题移动时只有两个方向可以选择; 跟求二叉树的深度的思想非常像

class Solution {
    public int maxValue(int[][] grid) {
        return core(grid, 0, 0);
    }
    
    //递归函数功能: 返回从(i,j)到(n-1,n-1)路径上礼物的最大价值
    //递归函数逻辑: (i,j) 向右走的价值, (i,j)向左走的价值, 选择值更大的那个
    private int core(int[][] grid, int i, int j){
        //base case
        int n = grid.length, m = grid[0].length;
        if(i>=n || j>=m)
            return 0;
        if(i==n-1 && j==m-1)
            return grid[i][j];
        //
        int rightRes = core(grid, i, j+1);
        int downRes = core(grid, i+1, j);
        return Math.max(rightRes, downRes) + grid[i][j];
    }
}