欧拉线性筛&欧拉函数&莫比乌斯函数

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一：
莫比乌斯反演：
vijos1889

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描述

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小岛: 什么叫做因数分解呢?
doc : 就是将给定的正整数n, 分解为若干个素数连乘的形式.
小岛: 那比如说 n=12 呢?
doc : 那么就是 12 = 2 X 2 X 3 呀.
小岛: 呜呜, 好难, 居然素数会重复出现, 如果分解后每一个素数都只出现一次, 我就会.

wish: 这样来说, 小岛可以正确分解的数字不多呀.
doc : 是呀是呀.
wish: 现在问题来了, 对于给定的k, 第 k 个小岛无法正确分解的数字是多少?

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格式

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输入格式

输入只有一行, 只有一个整数 k.
输出格式

输出只有一行, 只有一个整数, 表示小岛无法正确分解出来的第k个数字.

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样例1

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样例输入1[复制]

10

样例输出1[复制]

27

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分析：

二分答案，判断ans前面偶遇多少个含有平方数的数
如何判断呢?_?
sum代表x前面有sum个符合要求的数
sum=∑mu[i]*x/(i*i) (i=2~sqrt(x))

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代码如下：

#include
#include
#include
#include
#include
#define int long long 
using namespace std;
const int maxn=200005,N=160000;
int prime[maxn],mu[maxn],vis[maxn],cnt,k;
inline int read(){
    char ch=getchar();
    int f=1,x=0;
    while(!(ch>='0'&&ch<='9')){
        if(ch=='-')
            f=-1;
        ch=getchar();
    }
    while(ch>='0'&&ch<='9')
        x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
    return f*x;
}
int check(int x){
    int sum=0,lala=sqrt(x);
    for(int i=2;i<=lala;i++)
        sum-=mu[i]*x/(i*i);
    return sum; 
}
signed main(void){
    k=read();
    memset(vis,0,sizeof(vis)),cnt=0;
    for(int i=2;i<=N;i++){
        if(!vis[i])
            prime[++cnt]=i,mu[i]=-1;
        for(int j=1;j<=cnt&&prime[j]*i<=N;j++){
            vis[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j]==0){
                mu[i*prime[j]]=0;
                break;
            }
            else
                mu[i*prime[j]]=-mu[i];
        }
    }
    int l=k,r=25505460948LL,ans;
    while(l<=r){
        int mid=(l+r)>>1;
        if(check(mid)>=k)
            ans=mid,r=mid-1;
        else
            l=mid+1;
    }
    cout<return 0;
}

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二：
欧拉函数–>gcd求和
BZOJ 2705

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首先这道题要用O(n^(1/2))的算法来求欧拉函数
接下来我们先假设你会求，看如何求∑gcd
我们以∑(i,6) (i=1~6)为例
∑gcd(i,6)=
gcd(1,6)+gcd(5,6)—>1*2—>1*φ(6/1)
+gcd(2,6)+gcd(4,6)—>2*2—>2*φ(6/2)
+gcd(3,6)—>3*1—>3*φ(6/3)
+gcd(6,6)—>6*1—>6*φ(6/6)
哎？？有没有发现什么
所以我们可以得到下面的式子
∑gcd(i,n)=∑(n%x==0?1:0)xφ(n/x)
接下来就要看怎么求欧拉函数了

int phi(int x){
    int t=x;//t用来计数
    for(int i=2;i<=m;i++)//m=sqrt(n)
        if(x%i==0){
            t=t/i*(i-1);//1~x这些数可以分为长度为i的若干区间，每个区间中都有一个数与x不互质，所以只能取i-1个数
            while(x%i==0)
                x/=i;//在x中除去i
        }
    if(x>1)
        t=t/x*(x-1);
    return t;
} 

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代码如下：

#include
#include
#include
#include
#include
#define int long long
using namespace std;
int n,ans,m;
int phi(int x){
    int t=x;
    for(int i=2;i<=m;i++)
        if(x%i==0){
            t=t/i*(i-1);
            while(x%i==0)
                x/=i;
        }
    if(x>1)
        t=t/x*(x-1);
    return t;
} 
signed main(void){
    scanf("%lld",&n);
    m=sqrt(n),ans=0;
    for(int i=1;i<=m;i++)
        if(n%i==0){
            ans+=i*phi(n/i);
            if(i*icout<return 0;
}

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接下来是O(n)的算法：

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代码如下：

#include
#include
#include
#include
using namespace std;
const int maxn=160000+5;
int vis[maxn],prime[maxn],phi[maxn],cnt;
signed main(void){
    memset(vis,0,sizeof(vis)),cnt=0;
    for(int i=2;i<=10000;i++){
        if(!vis[i])
            prime[++cnt]=i,phi[i]=i-1;
        for(int j=1;j<=cnt&&prime[j]*i<=10000;j++){
            vis[prime[j]*i]=1;
            if(i%prime[j]==0){
                phi[i*prime[j]]=prime[j]*phi[i];
                break;
            }
            else
                phi[i*prime[j]]=(prime[j]-1)*phi[i];
        }
    }
    for(int i=1;i<=100;i++)
        cout<" ";
    cout<return 0;
}

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by >o< neighthorn