【算法导论-主定理】用主方法求解递归式 学练结合版

问题：若某算法的计算时间表示为递推关系式：T(N)=2T(N/2)+NlogN 且 T(1)=1

则该算法的时间复杂度为( )。
O(Nsqrt(N))
O(NlogN)
O(N(logN)^2)
O(N^2logN)
O(N^2)

解析：

应该是 O(N(logN)^2)
参考网址：主定理和《算法导论》

但是博主说其实你不会主定理也没事儿，只要能找几个特殊值带入，并根据符号O的意义排除选项即可。所以……其实可以投机取巧。（望天）
主定理在《算法导论》的第53页时间复杂度章节有讲到（是的，黑色的很厚的那本）



对于三种情况的每一种，我们将函数f(n)与函数$n^{lo{g}_{b}a}$进行比较。 直觉上， 两个函数较大者决定了递归式的解。若函数$n^{lo{g}_{b}a}$更大，如情况1,则解为$T(n)=\Theta (n^{lo{g}_{b}a})$。若函数f(n)更大，如情况3,则解为$T(n)=\Theta (f(n))$。若两个函数大小相当， 如情况2,则乘上一个对数因子，解为$T(n)=\Theta (n^{lo{g}_{b}a}lgn)=\Theta (f(n)lgn)。$
注意， 这三种情况并未覆盖f(n)的所有可能性。情况1和情况2之间有一定间隙，f(n)可能小于$n^{lo{g}_{b}a}$但不是多项式意义上的小于。 类似地，情况2和情况3之间也有一定间隙 ，f(n)可能大于$n^{lo{g}_{b}a}$．但不是多项式意义上的大于。如果函数f(n)落在这两个间隙中，或者情况3中要求的正则条件不成立，就不能使用主方法来求解递归式。
在第一种情况中，不是 f(n)小于$n^{lo{g}_{b}a}$就够了，
而是要多项式意义上的小于。 也就是说，f(n)必须渐近小于$n^{lo{g}_{b}a}$，要相差一个因子$n^{ϵ}$，其中ϵ是大于0的常数。 在第三种情况中，不是f(n)大于$n^{lo{g}_{b}a}$就够了，而是要多项式意义上的大于，而且还要满足“正则”条件$af(n/b)\le cf(n)$。我们将会遇到的多项式界的函数中， 多数都满足此条件。
假设我们有递推关系式：

根据这个题，$T(N)=2T(N/2)+NlogN且T(1)=1，$可知 $a=2，b=2，f(n)=NlogN，$所以将函数$f(n)=NlogN$与函数$N^{lo{g}_{2}2}logN=NlogN$进行比较，他们复杂度相近，是情况2。从而根据公式：
$$f(n)=\Theta (n^{lo{g}_{b}a}lo{g}_{k}n)，则T(n)=\Theta (n^{lo{g}_{b}a}lo{g}^{k+1}n)。$$
有：
$$\Gamma (n)=n^{lo{g}_{2}2}\ast (lo{g}^{2}n)=n(logn{)}^2$$

类题试解：

1.二叉树的遍历：$$T(n)=2T(\frac{n}{2})+\Theta (1)$$

可知$a=2，b=2，f(n)=1$, $n^{lo{g}_{2}2}=n$比$f(n)=\Theta (1)$大，是情况1，则根据公式，解为$T(n)=\Theta (n^{lo{g}_{2}2})=\Theta (n)$

2.二分搜索（折半搜索）$$T(n)=T(\frac{n}{2})+\Theta (1)$$

可知a=1，b=2，f(n)=Θ(1),
$n^{lo{g}_{2}1}=n^0=1$，故f(n)和O(1)复杂度相近，是情况2，
根据公式，$T(n)=lgn$

3.最大子数组问题和归并排序的分治算法的运行时间:$$T(n)=2T(\frac{n}{2})+\Theta (n)$$

可知a=2，b=2，$f(n)=\Theta (n)$
$n^{lo{g}_{2}2}=n$和$f(n)=\Theta (n)$相近，是情况2，
根据公式，$T(n)=\Theta (n^{lo{g}_{b}a}lgn)=\Theta (f(n)lgn)。$
可得$T(n)=\Theta (n^{lo{g}_{2}2}lgn)=\Theta (nlo{g}_{2}n)。$

4.递归式$$T(n)=3T(n/4)+nlgn$$

我们有$a=3,b=4,f(n)=nlgn$,而$n^{lo{g}_{4}3}=O(n^{0.793})$
由于$f(n)=\Omega (n^{lo{g}_{4}3+ϵ})=\Omega (n^{0.793+ϵ})$，其中$ϵ\approx 1-0.793=0.2$， $f(n)=nlgn>n^{lo{g}_{4}3}$满足情况3。且对常数c=0.75和所有足够大的n有$3(n/4)lg(n/4)\le 0.75nlgn=cf(n)$
故解为$T(n)=\Theta (nlgn)$

5.矩阵乘法问题第一个分治算法$$T(n)=8T(\frac{n}{2})+\Theta (n^2)$$

有$a=8,b=2,f(n)=n^2$,$n^{lo{g}_{2}8}=n^3$可以看出$f(n)=n^2<n^3$，应该是情况1，其中$ϵ=1$
故$T(n)=\Theta (n^3)$

6.Strassen算法的运行时间$$T(n)=7T(n/2)+\Theta (n^2)$$

有a=7，b=2，$n^{lo{g}_{2}7}\approx n^{2.805}>n^2,故f(n)<n^{2.805}$，应用情况1公式：
故$T(n)=\Theta (n^{lo{g}_{2}7})$
改写底为$lg7$

$$lo{g}_{2}7=\frac{lg7}{lg2}=\frac{0.84}{0.3}=2.807$$
算法导论中的lg以2为底
故$T(n)=\Theta (n^{lg7})=\Theta (n^{2.807})$

不能使用主定理的情况：$$T(n)=2T(n/2)+\Theta (nlgn)$$

其中$a=2，b=2，f(n)=nlgn$
而$lo{g}_{2}2=n$ 而$f(n)=nlgn$渐进大于n，而不是多项式大于n
（多项式意义上的大于，顾名思义，就是两个函数的商大于一个多项式。严格表述为如下形式：当我们说f(x)多项式意义上大于g(x)时，我们是指：存在实数e>0，使得f(x)>g(x)*n^e。）

因此， 递归式落入了情况2和情况3之间的间隙，不可以使用主定理。
不过可以利用公式：
$$f(n)=\Theta (n^{lo{g}_{b}a}lo{g}_{k}n)，则T(n)=\Theta (n^{lo{g}_{b}a}lo{g}^{k+1}n)。$$
根据算法导论P73的上下界取整：

可知$O(Nlo{g}_2^{2}N)$是T(n)的上界（$O(N^3)$也是上界，但是不是紧确界)