IMU学习系列(二)---四元数旋转的表示

1.参考资料

  • Quaternion kinematics for the error-state KF
  • barfoot《state estimation forrobotics》
  • 袁信、郑锷《捷联式惯性导航原理》

2.旋转矩阵的性质

2.1旋转矩阵

  • 定义frame1到frame2的旋转矩阵为,旋转矩阵是单位正交矩阵。
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  • 对于旋转矩阵的下标可以这样理解,等式右边是旋转矩阵转化后的新位置坐标,左右是上一时刻的位置坐标,因此旋转的叠加(积分)即在原来的基础上再左乘新的旋转矩阵。
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  • z-y-x即图中3-2-1,是我看很多导航的书的表示方式,barfoot的书中以1-2-3旋转方式作为航空中常用的旋转方式,对比袁信的捷联惯导书和barfoot的书,两者每次旋转对应的旋转矩阵C1,C2,C3是相通的,只不过定义的旋转次序不同使得旋转矩阵的形式不太一样

    -欧拉角的大小和方向定义:
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  • barfoot书中每次旋转的旋转矩阵定义,和袁信书中一致。

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  • 以袁信书中的z-y-x即3-2-1的旋转方式表示的旋转矩阵,,这里frame1看作是n系,frame2看作是b系,则导航系n到机体系b的旋转矩阵
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  • 旋转矩阵的小角度表示:当旋转角都比较小时,利用三角函数的与欧拉角的近似,省略小量的二次以上部分,得到:
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2.2旋转矩阵的奇异点

  • barfoot书中以1-2-3的旋转方式为例,如果中间那次旋转θ2=π2,则旋转就会变成绕1轴旋转θ1+θ3,即旋转耦合在一起,即这次旋转的欧拉角无法恢复。
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2.3旋转矩阵的微分方程

  • 哥氏定理

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  • 利用哥氏定理推导旋转矩阵的微分方程

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3.向量叉乘与斜对称矩阵

  • 向量叉乘可以表示成向量的叉乘矩阵和向量相乘,叉乘矩阵是斜对称矩阵,这种表示在旋转相关公式里经常用到。对于列向量a,b有:
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4.四元数

4.1四元数表示

  • 四元数有很多表示方法,这里采用标量+向量的形式表示(scalar+vector)
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4.2四元数乘法

  • 两个四元数等于各个元素分别相乘,表示旋转的积分

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  • 四元数乘法不满足交换律(commutative)
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  • 四元数乘法满足结合律(associative)和分配律(distributive)
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  • 两个四元数相乘可以表示为矩阵的形式
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  • 利用四元数的结合律得到
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4.3四元数的性质

  • 单位1 四元数(Identity):
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  • 共轭四元数:虚数部分符号相反
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  • 单位四元数的逆等于其共轭四元数

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