Cholesky Decomposition

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三角矩阵

三角矩阵首先是方阵，其次，如果这个方阵对角线上面或下面（不含对角线）的元素都为0的话，那么这个矩阵就被称为三角矩阵。如果是上面的元素都为0，则称之为下三角矩阵，反之则是上三角矩阵。

上三角矩阵⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢a1100...0a12a220...0............0..a1na2na3n....ann⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥

下三角矩阵⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢a11a21a31...an10a22a32...an2...0...........000...ann⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥

三角矩阵有一个非常好的性质，那就是在作为一个方程组的参数时，那么可以快速地解这个方程组，假设矩阵A是一个下三角矩阵，那么方程组  Ax=b ，可以很快地解出，解普通方程组节省很多时间，这个方程组的解具有如下形式

x1x2x3...xn====b1a11b2−a21x1a22b3−a31x1−a32x2a33bn−∑n−1i=1anixiann

Cholesky Descomposition

由于三角矩阵具有非常好的性质，因此我们在计算时，我们可以把一个矩阵分解成两个三角矩阵乘积的形式，从而可以利用三角矩阵的优点，但并不是任何矩阵都可以转化成三角矩阵形式的。在实数域，只有正定矩阵（positive defined matrix）才满足条件。假设矩阵A是堆成的正定矩阵，把A分解成如下形式就是Cholesky Decomposition,其中U为上三角矩阵，L为下三角矩阵。

AA==UTULLT

 

正定矩阵

首先我们需要知道什么是正定矩阵。首先正定矩阵是对称的，对称很容易理解，即矩阵A中的所有元素，有 aij=aji ，那么A必然是方阵；此外对于任何非零的向量z，正定矩阵A满足 zTAz>0 。正定矩阵还有如下性质：

• 正定矩阵是非奇异矩阵。假设A为正定矩阵，对于任意非零向量x，满足
  xTAx>0
  那么我们可以得到
  Ax≠0
  所以正定矩阵是非奇异矩阵。
• 对角线上的所有元素都是正的。令 ei 表示第i个元素为1，其余为0的单位向量，那么
  aii=eTiAei>0
• 正定矩阵的Schur补也是正定矩阵。对于正定矩阵
  An=[a11an1aTn1An−1]
  其中 a11 为实数， an1 为向量， An−1 为方阵。 An 的Schur补为
  S=An−1−1a11an1aTn1
  令w为实数，v为长度为n-1的任意向量，由于 An 为正定矩阵，因此我们有
  [w,vT]An[w,vT]Tw2a11+wvTan1+waTn1v+vTAn−1v>>00
  要证明S为正定矩阵，只需要证明对于任意非零向量v， vTSv>0 即可，也就要证明
  vTAn−1v−1a11vTan1aTn1v>0
  观察上面两个不等式发现，只需要令
  w2a11+wvTan1+waTn1v+vTAn−1vw2a11+2wvTan1+1a11(vTan1)2w2+2vTan1a11w+((vTan1)a11)2(w+vTan1a11)2w=====vTAn−1v−1a11vTan1aTn1v000−1a11vTan1
  所以对任意的非零向量v，我们可以令 w=−1a11vTan1 ，根据 An 的性质，我们可以证明 vTSv>0 。因此，正定矩阵的Schur补也是正定矩阵。

为什么正定矩阵可以分成三角矩阵的乘积？

假设正定矩阵可以分解为两个三角矩阵的乘积。不妨令 An=LnLTn ，同时分别将 An  和  Ln  写作

AnLn==[a11an1aTn1An−1][l11ln10Ln−1]

如果我们能证明下面的等式成立，那么我们就证明了正定矩阵可以分成了两个三角矩阵的乘积。

An[a11an1aTn1An−1]==LnLTn[l11ln10Ln−1][l110lTn1LTn−1]=[l211l11ln1l11lTn1ln1lTn1+Ln−1LTn−1]

由于 An 是正定矩阵，而正定矩阵对角线上的元素都为正，因而 a11>0 ，所以我们得到

l11=a11−−−√

因为  an1=l11ln1 ，所以我们可以得到

ln1=1a11−−−√an1

至此，我们只需要证明  An−1=ln1lTn1+Ln−1LTn−1 ，既可以证明正定矩阵可以分解成三角矩阵的乘积，也就是证明

An−1−ln1lTn1An−1−1a11==Ln−1LTn−1Ln−1LTn−1

观察上面的等式，我们发现，只需要证明  An−1−1a11  是正定矩阵就可以了。而这个表达式恰好是矩阵 An 的Schur补，根据正定矩阵的性质，我们知道这个表达式也是正定矩阵。接着我们采用归纳证明，假设维度为n-1的正定矩阵可以分解成下三角矩阵和上三角矩阵的乘积，那么根据上面的分析，我们知道维度为n的正定矩阵也可以分解成下三角矩阵和上三角矩阵的乘积；当n=1时，显然可以分解成三角矩阵的乘积。因此我们证明了 An−1=ln1lTn1+Ln−1LTn−1 ，从而也就证明了Cholesky Decomposition。

在Least Angle Regression 中的运用