【吐血整理】数据库重点知识总结【2】

本文是数据库专栏【吐血整理】系列的第二篇，以介绍关系数据库为主，欢迎阅读~

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一、关系数据结构及形式化定义

1. 关系

关系： 单一的数据结构
现实世界的实体及实体间的各种联系均用关系来表示
二维表： 逻辑结构
从用户角度，关系模型中数据的逻辑结构是一张二维表

①域（Domain）
域（Domain）： 域是一组具有相同数据类型的值的集合。
例如：整数、所有球类的集合，指定长度的字符串集合、{‘男人’，‘女人’} …

②笛卡尔积（Cartesian Product）
笛卡尔积（Cartesian Product）：
给定一组域D₁，D₂，…，D_n，允许其中某些域是相同的
D₁，D₂，…，D_n的笛卡尔积为：
D₁×D₂×…×D_n ＝ ｛（d₁，d₂，…，d_n）｜$di\in Di$，i＝1，2，…，n｝

总结一下： 笛卡尔积就是所有域的所有取值的一个组合（即全集），不能重复

举个栗子哈：
假设集合A={D，B}，集合B={1，2，3}，两个集合的笛卡尔积为：
AXB={(D，1)，(D，2)，(D，3)，(B，1)，(B，2)，(B，3)}

• 不会写下标和上标的小伙伴注意啦！
  下标这样写：~下标~ 效果：_下标
  上标这样写：^上标^ 效果：^上标
  咳咳，可爱的人是不会白嫖的~（暗示点赞关注！）

· 元组（Tuple）：
笛卡尔积中每一个元素（d₁，d₂，…，d_n）叫作一个n元组（n-tuple）或简称元组
例如：在AXB={(D，1)，(D，2)，(D，3)，(B，1)，(B，2)，(B，3)}中，每一个(D，1)，(D，2)… 都是2元组
· 分量（Component）：
笛卡尔积元素（d₁，d₂，…，d_n）中的每一个值 d_i 叫作一个分量
例如：刚刚的例子中 D，B，1，2，3 都是分量
· 基数（Cardinal number）：
若D_i（i＝1，2，…，n）为有限集，其基数为m_i（i＝1，2，…，n），则D₁XD₂X…XD_n的基数M为：

$M={\prod }_{i=i}^n{m}_i$ （即基数的累乘）

可理解为：基数就是集合中的元素的个数
例如：集合A={D，B}基数为2，集合B={1，2，3}基数为3，AXB={(D，1)，(D，2)，(D，3)，(B，1)，(B，2)，(B，3)}的基数为2×3=6

③关系（Relation）
1） 关系
D₁XD₂X…XD_n的 子集 叫作在域D₁，D₂，…，D_n上的关系，表示为:
R（D₁，D₂，…，D_n）
R 是关系名，n 是关系的目或度
例如：COUPLE(BOY，GIRL)，R=COUPLE ，n=2
2）关系的表示
关系是一个二维表
表的每行对应一个元组，表的每列对应一个属性
3）码（Key）

• 候选码：
  若关系中的某一属性组的值能唯一地标识一个元组，则称该属性组为候选码。
  简单的情况：候选码只包含一个属性
  最极端的情况：所有属性组是候选码，称为全码
• 主码（PK）：
  若一个关系有多个候选码，则选定其中一个为主码（一般用下划线来表示该候选码为主码）
• 主属性：
  候选码的诸属性称为主属性。
  不包含在任何侯选码中的属性称为非主属性或非码属性

值得注意的是： D₁，D₂，…，D_n的笛卡尔积（全集） 的某个子集（即关系） 才 有实际含义。

三类关系：
· 基本关系（基本表或基表）
实际存在的表，是实际存储数据的逻辑表示
· 查询表
查询结果对应的表（暂存在内存）
· 视图表
由基本表或其他视图表导出的表，是虚表，不对应实际存储的数据
基本关系的性质
① 列是同质的
② 不同的列可出自同一个域

其中的每一列称为一个属性
不同的属性要给予不同的属性名

③ 列的顺序无所谓，列的次序可以任意交换
④ 任意两个元组的候选码不能相同
⑤ 行的顺序无所谓，行的次序可以任意交换
⑥ 分量必须取原子值，这是规范条件中最基本的一条

2. 关系模式

关系模式------------型
· 对关系的描述
· 静态的、稳定的

关系------------------值
· 关系模式在某一时刻的状态或内容
· 动态的、不断变化的

• 关系模式是对关系的描述，可以形式化地表示为：
  R（U，D，DOM，F）
  R： 关系名
  U：组成该关系的属性名集合
  D：U中属性所来自的域
  DOM：属性向域的映象的集合
  F：属性间数据的依赖关系的集合

举个栗子:
篮球（BASKETBALL）和足球（FOOTBALL）出自同一个域——球（BALL），

在模式中定义属性向域的映像，说明它们分别出自哪个域：
DOM（BASKETBALL）
= DOM（FOOTBALL）
= BALL

关系模式通常可以简记为：
R (U) 或 R (A1，A2，…，An)

• R: 关系名
• A1，A2，…，An : 属性名（U是属性名的集合）

关系模式和关系往往笼统称为关系，通过上下文加以区别

3. 关系数据库

在一个给定的应用领域中，所有关系的集合构成一个关系数据库

关系数据库的型：
· 关系数据库模式，是对关系数据库的描述

关系数据库的值：
· 关系模式在某一时刻对应的关系的集合，通常称为关系数据库

4. 关系模型的存储结构

关系数据库的物理组织

• 有的RDBMS中一个表对应一个操作系统文件，将物理数据组织交给操作系统完成
• 有的RDBMS从操作系统那里申请若干个大的文件，自己划分文件空间，组织表、索引等存储结构，并进行存储管理
  ps：关系数据库管理系统（Relational Database Management System：RDBMS）

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二、关系操作

基本的关系操作

查询：
选择、投影、连接、除、并、差、交、笛卡尔积
（选择、投影、并、差、笛卡尔基是5种基本操作，下文的关系代数部分详细讲解）
更新：插入、删除、修改

关系数据库语言的分类

关系代数语言

关系演算语言（元组关系演算语言和域关系演算语言）

具有关系代数和关系演算双重特点的语言
代表：SQL（Structured Query Language）

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三、关系的完整性

1. 实体完整性

实体完整性规则（Entity Integrity）
· 若属性A是基本关系R的主属性，则属性A不能取空值
ps：空值就是“不知道”或“不存在”或“无意义”的值

比如：选修课（学号，课程号，成绩）
“学号、课程号”为主码
“学号”和“课程号”两个属性都不能取空值

可以简单记忆为：主属性不能为空

2. 参照完整性

关系间的引用
在关系模型中实体及实体间的联系都是用关系来描述的
比如：学生实体、专业实体（主码用下划线表示）
学生（学号，姓名，性别，专业号，年龄）
专业（专业号，专业名）
这个例子中： 学生关系引用了专业关系的主码 “专业号”
学生关系中的 “专业号”值必须是 确实存在的专业的专业号

外码（Foreign Key）
设F是基本关系R的一个或一组属性，但不是关系R的码（ps：码可唯一确定一个元组）。如果F与基本关系S的主码K_s相对应，则称F是R的外码
· 基本关系R称为参照关系（Referencing Relation）
· 基本关系S称为被参照关系（Referenced Relation）
咱通过例子来理解一下：

“专业号”属性F是学生关系的外码
专业关系S是被参照关系，学生关系R为参照关系

参照完整性规则
若属性（或属性组）F是基本关系R的外码它与基本关系S的主码K_s 相对应，则对于R中每个元组在F上的值必须为：

• 要么取空值（F的每个属性值均为空值）
• 要么等于S中某个元组的主码值

简单记忆：外码要么为空，要么源自于被参照关系的主码

3. 用户定义的完整性

针对某一具体关系数据库的约束条件，反映某一具体应用所涉及的数据必须满足的语义要求
关系模型应提供定义和检验这类完整性的机制，以便用统一的系统的方法处理它们，而不需应用程序承担这一功能。
比如： 课程（课程号，课程名，学分）
· “课程号”属性必须取唯一值
· 非主属性“课程名”不能取空值
· “学分”属性只能取值{0.5，1.0，1.5，2.0，2.5，3.0}

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四、关系代数

关系代数：一种抽象的查询语言，用对关系的运算来表达查询。

传统的集合运算

R∪S R - S R ∩ S 如下图所示：


笛卡尔积（Cartesian Product）
严格地讲应该是广义的笛卡尔积
R: n目关系，k₁ 个元组（可理解为R有n列，k₁行）
S: m目关系，k₂ 个元组（可理解为S有m列，k₂行）

R X S

• 列：(n+m）列元组的集合
  元组的前n列是关系R的一个元组
  后m列是关系S的一个元组
• 行： k₁ X k₂个元组（基数）
• 即相当于用R的每一行去和S的每一行“拼”起来，看下图可形象理解

如图所示（3+3=6列，3*3=9行）：

专门的关系运算

1. 选择（Selection）σ
选择 运算符的含义:
在关系R中选择满足给定条件的诸元组
${\sigma }_F\left(R\right)=\{t|t\in R\wedge F\left(t\right){=}^{\prime }{真}^{\prime }$｝

F：选择条件，是一个逻辑表达式，取值为“真”或“假”
· 基本形式为：X₁θY₁
· θ表示比较运算符，它可以是＞，≥，＜，≤，＝或 <>

比如：查询英语系（ES）的全体学生：
${\sigma }_{Sdept}{=}_{{}^{\prime }E{S}^{\prime }}\left(Student\right)$

总而言之：选择运算是从关系R中选取使逻辑表达式F为真的元组，是从行的角度进行的运算

2. 投影（Projection）π
从R中选择出若干属性列组成新的关系
${\pi }_A\left(R\right)=\{t\left[A\right]|t\in R$ }
A：R中的属性列
投影操作主要是从列的角度进行运算

投影之后不仅取消了原关系中的某些列，而且还可能取消某些元组（避免重复行）
· 举个栗子叭：查询学生的姓名和所在系。
即 求Student关系上学生姓名和所在系两个属性上的投影
π_Sname,Sdept(Student)
结果：

避免重复行 举例：查询学生关系Student中都有哪些系。
π_Sdept(Student)
结果只有三行，去掉了重复的DB

3 . 连接（Join）⋈
连接运算的含义：
从两个关系的笛卡尔积中选取属性间满足一定条件的元组

· A和B：分别为R和S上度数相等且可比的属性组
· θ：比较运算符

连接运算是：在R和S的广义笛卡尔积R X S中，选取R在A属性组上的值与S在B属性组上的值满足比较关系θ的元组
一般的连接操作是从行的角度进行运算

自然连接还需要取消重复列，所以是同时从行和列的角度进行运算
（此处连接就不展开介绍了，展开后比较多东西，以后会专门写关于连接（JOIN）的一篇文章）

4. 除 ÷
· 介绍除运算之前需要先介绍象集的概念：
给定一个关系R（X，Z），X和Z为属性组。
当t[X]=x时，x在R中的象集（Images Set） 为：

$Z_x=\{t\left[z\right]|t\in R,t\left[X\right]=x$ }

它表示R中属性组X上值为x的诸元组在Z上分量的集合
（t[X] 表示元组 t中相应于属性X的一个分量）
来个栗子：

• x₁ 在R中的象集
  Z_x1 ={Z₁，Z₂，Z₃}
• x₂ 在R中的象集
  Z_x2 ={Z₂，Z₃}
• x₃ 在R中的象集
  Z_x3={Z₁，Z₃}

除运算的含义：给定关系R (X，Y) 和S (Y，Z)，其中X，Y，Z为属性组。R中的Y与S中的Y可以有不同的属性名，但必须出自相同的域集。R与S的除运算得到一个新的关系P(X)，P是R中满足下列条件的元组在X属性列上的投影：元组在X上分量值x的象集Y_x 包含 S在Y上投影的集合。
这样解释不太好理解，咱看下面的图理解一下哈：

在关系R中，A可以取四个值 {a₁，a₂，a₃，a₄}
a₁ 的象集为 {(b₁，c₂)，(b₂，c₃)，(b₂，c₁)}
a₂ 的象集为 {(b₃，c₇)，(b₂，c₃)}
a₃ 的象集为 {(b₄，c₆)}
a₄ 的象集为 {(b₆，c₆)}
S在 (B，C) 上的投影为
{(b₁，c₂)，(b₂，c₁)，(b₂，c₃) }
只有a1的象集包含了S在(B，C)属性组上的投影
所以 R÷S ={a₁}

除操作是同时从行和列角度进行运算

小拓展

并、差、笛卡尔积、投影和选择 这5种运算为关系代数中的基本运算（即 ∪、−、 X 、$\Pi$ 、σ）
其他的3种运算：交、连接和除（∩ 、⋈、÷），都可以用这5种基本运算来表示：
（R(A, C)，S(B, C) ，A和B分别为R和S上度数相等且可比的属性组，θ是比较运算符 ）

表示如下
R ∩ S = R - (R - S) 或 S - (S - R)
R$\underset{A\theta B}{\bowtie }$S = ${\sigma }_{A\theta B}(R\times S)$
R ÷ S = ${\Pi }_A(R)-{\Pi }_A({\Pi }_A(R)\times {\Pi }_C(S)-R)$

ps：请结合定义来理解表达式吖

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五、关系代数练习

在本章节的学习之后David老师给大家布置了一个关系代数的练习，俗话说的好 “光说不练假把式”，学了要会用吖！作业内容链接：【2019-2020春学期】数据库作业3：第二章课后题
在CSDN当中直接表达数学公式会略感无力，但是CSDN的Markdown提供了对LaTex公式的支持。对于数学公式转LaTex，我在这里给大家安利一个网站叭：在线识别手写公式（有时候也不是那么好用，不过日常使用是没问题哒~）

第6题题解如下：
此处LaTex公式除了在上面安利的网站中转化，也可以参考David老师的博客：在CSDN中使用“Markdown编辑器”编辑“关系代数”，毕竟掌握写法是根本，融会贯通
1）${\Pi }_{SNO}({\sigma }_{JNO{=}^{\prime }J{1}^{\prime }}(SPJ))$
2）${\Pi }_{SNO}({\sigma }_{JNO{=}^{\prime }P{1}^{\prime }}{\wedge }_{PNO{=}^{\prime }J{1}^{\prime }}(SPJ))$
3）${\Pi }_{SNO}({\Pi }_{SNO,PNO}({\sigma }_{JNO{=}^{\prime }J{1}^{\prime }}(SPJ))\bowtie {\Pi }_{PNO}({\sigma }_{COLOR{=}^{\prime }{红}^{\prime }}(P)))$
4）${\Pi }_{JNO}(SPJ)-{\Pi }_{JNO}({\Pi }_{PNO}({\sigma }_{COLOR{=}^{\prime }{红}^{\prime }}(P))\bowtie {\Pi }_{SNO}({\sigma }_{CITY{=}^{\prime }天{津}^{\prime }}(S))\bowtie {\Pi }_{SNO,PNO,JNO}(SPJ))$
5）${\Pi }_{JNO,PNO}(SPJ)÷{\Pi }_{PNO}({\sigma }_{SNO{=}^{\prime }S{1}^{\prime }}(SPJ))$
下面是手写版的：

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那 本文到这里也就结束啦，感谢你耐心地阅读~ 如有不恰当的地方，望提出指正吖
这里是一个想把学习过程记录成博客分享给大家的undergraduate，请多关照
咱们下期 见~

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