视觉SLAM十四讲学习笔记（四）李群和李代数

一、李群

李群，即具有连续光滑性质的群。

前面提到过，旋转矩阵R和变换矩阵T分别定义于特殊正交群SO(3)和特殊欧式群SE(3)

SO(3)和SE(3)对矩阵乘法构成群，但对加法不构成群，所以很难对其进行取极限，求导等操作。于是引出了与李群对应的李代数。

二、李代数

李代数是与李群对应的一种结构，位于向量空间。SO(3)和SE(3)对应的李代数分别表示为so(3)和se(3)。

从SO(3)和SE(3)到so(3)和se(3)的推导可见书本，比较易懂，下面直接给出so(3)和se(3)的表示方式以及李群与李代数之间的转换关系。

需要注意的是：此处se(3)表示中，前三维为平移，其含义与变换矩阵T中的平移不同，需要经过一个J的转换。在表示的时候，有时平移在前，旋转在后，有时旋转在前，平移在后，在用的时候，一定要仔细。

三、李代数求导与扰动模型

前面提到过，李群没有加法，导数就无从定义。解决的方法

1. 利用李代数上加法定义李群元素的导数
2. 利用指数映射和对数映射完成变换关系

但对于矩阵来说，以下两个公式并不成立

           

其完整的形式由BCH公式给出，如果只保留BCH公式前几项，则可表示为

其中

于是，对于某个旋转R，其对应的李代数为。我们给它左乘一个微小的旋转，对应的李代数为。则在李群上的结果就是，而在李代数上，根据BCH公式，为。也就是

反之，在李代数上进行加法，让加上一个，那么可近似李群上带左右雅可比的乘法

同样，对于SE(3)，其BCH近似公式为：

此处J为一个6*6的雅可比。

对于SO(3)上的求导

（1）李代数求导

（2）扰动模型

对于SE(3)上的求导，直接使用扰动模型

四、实践

Sophus实践，语法和Eigne相似，可见课本，比较简单。关于Sophus库，可详细阅读其头文件库。

课后作业是关于李群和李代数性质的证明和推导，可见答案。

课后关于评估轨迹误差的例子，需要仔细看看。