《深入理解计算机系统》读书笔记-03

《深入理解计算机系统》读书笔记-03

一个有用的例程

书的第 31 页给出了一段例程，用以打印 C 语言中变量对应内存的内容。其具体代码如下：

#include 


typedef unsigned char *byte_pointer;

void show_bytes(byte_pointer start, size_t len)
{
    size_t i;
    for(i = 0; i < len; i++)
        printf(" %.2x", start[i]);
    printf("\n");
}

这一段代码具有很强的实用性，尤其在需要深入查看内存内容的时候。虽说 VS 也有查看内存内容的功能，但 VS 缺点在于太过臃肿，除了做大型项目一般也很少打开；相反这样一段精简的 C 程序更能在各种情况下发挥作用。

一个数学符号

在书的第 36 页第一次出现了一个奇怪的数学符号：$\doteq$。

经网络查询得知，该符号与 $\approx$ 是等价的，也就是说是“约等于”的意思，但再看看书中的内容，总是不太对劲儿，“位向量 $a\doteq [01101001]$”难道表示的是“位向量 $a$ 约等于位模式 $[01101001]$”吗？

到了第 44 页，终于给出了对这个奇怪数学符号的官方定义：符号“$\doteq$ ”表示左边被定义为等于右边。也就是说，“位向量 $a\doteq [01101001]$”实际的含义应该是“位向量 $a$ 被定义为位模式 $[01101001]$ ”。

异或

异或是布尔代数中的加法

将“异或”与“加法”联系起来的思路让我豁然开朗。以前从来没有想到过还可以以加法的视角来看待异或运算，虽说经常会看到底层的加法运算电路使用异或门来完成相应操作，但也只是以为是人为设计的缘故，并没有思考过为什么都是“异或”。直到在树上看到这样的说法，才终于发现自己以前被逻辑运算和算术运算的条条框框限制住了，哪怕我一向自认是比较善于发散思维的人，也不曾尝试过将逻辑运算和算术运算的内部原理联系起来。

到这里，其实给我更多震动的还不是异或的神奇，而是又一次发现了数学之美。数学的美有很多种，这种深藏于原理内部的相似性就是其中一种。

名字

异或的中文我一直理解为“相异则或”，也就是说参与异或运算的两个元素如果相异，则进行“或”运算；而其英文exclusive or我则一直理解为“互斥型或运算”。也不知是否靠谱，不过在我自己的逻辑中能够自洽。

有趣的性质

• 异或运算一个有趣的性质是 $a\wedge a=0$
• 异或具有交换律
• 异或具有结合律

综合以上三条性质，可以解决一个十分有趣的问题：在一堆数中，除了一个数只出现奇数次外，其他数都出现了偶数次，问如何找出这个出现了奇数次的数。

运用异或运算，答案很简单，将所有数按位进行异或，最后得到的结果所表示的数，就是要找的出现奇数次的数。简化表示就是：$(a\wedge b)\wedge a=b$。

补码

概念详解

在书中，补码由下述公式定义：
$$B2T_w(x)\doteq -x_{w-1}{2}^{w-1}+\sum _{i=0}^{w-2}{x}_i{2}^i$$
但是这样的定义并不直观，因此我想介绍另一个更加直观一些的理解。

在《计算机是怎样跑起来的》一书中对补码的定义十分精到和巧妙，正是看了那一段，我才真正地理解了补码到底是怎么来的。

《计算机是怎样跑起来的》中，定义补码的计算为：将对应正数的原码逐位取反，再在结果的基础上加 1，所得即为对应负数的补码表示。

这一点与惯常的说法没有什么不同，但点睛之笔在于说出了为什么要这样计算。就是看了这一段，我才真正明白为什么补码的计算方式会这么奇怪不自然，甚至有点“造作”。实际上一切的不合理都有一个合理的解释。

下面我用自己的理解尽量清楚地解释一下。

在学习数字电路的时候讲过三种编码：原码、反码和补码，但我从来没有理解到过补码的公式是怎么来的，为什么要叫“补码”这么奇怪的名字。原码容易理解，就是“原始的二进制编码”。反码也容易理解，就是在原码的基础上，按位取反。但是这个“补码”到底是什么意思呢？什么叫补？怎么补？跟谁补？

实际上，“补码”之所以叫“补码”，并不是随意取的名字。其中“补”的意思是“和为零”，也就是说 $1+(-1)=0$，则称 1 和 -1 互补；对二进制数亦然。有符号整数的补码表示正是基于“互补”这个定义而来。

以四位二进制数为例，所能表示的最大无符号数就是位模式 [1111] 对应的无符号整数 15，一旦在此基础上再加 1 想表示 16 的话，就会产生溢出，理论上应该得到的是 [10000]，但由于位模式只有四位，因此产生截断变成了 [0000]，而 [0000] 对应的无符号数就是整数 0。显然我们可以得到 $[1111]+[0001]=[0000]$。好了，根据上面对补码的定义，到这里我们可以得出结论：[1111] 和 [0001] 是互补的，即“互为补码”。

而根据数学常识，“相加为 0 的两个数互为相反数”，也就是说 [1111] 和 [0001] 在这种位有限的情况下，还应该是事实上的相反数。我们将 [0001] 视作正常表示的无符号数 +1，那么自然而然地，[1111] 表示的就应该是 -1 了。

根据这个步骤，我们可以求出每个可表示的正数对应的负数的补码表示。

但有一个问题，知道了一个正数，怎么快速确定其对应负数的补码表示呢？

回忆一下前面提到过的，“对原码按位取反”。显然这个反码与原码之和一定是 [1111]，因为按位取反之后，原码是 1 的位，反码一定是 0；原码是 0 的位，补码一定是 1。于是相加之后得到的一定是一个全为 1 的位模式。“再在所得结果的基础上加 1”。众所周知，加法具有交换律。计算过程说要在反码的基础上加 1，我们可以考虑将反码与原码求和之后，再在和的基础上加 1。这样就相当于在 [1111] 的基础上加 1，所得的结果一定是 0，即 [0000]。

好了，讨论到这一步，再回过头来看“互补”的定义：和为零即为互补。于是我们可以说，假设位向量 $a$ 是一个补码表示的正数 $a$ 对应的位模式，而 $b$ 则是一个补码表示的负数 $b$ 对应的位模式。要使 $b=-a$，显然应该有
$$a+b=0$$
假如 $a^{\prime }$ 是 $a$ 对应的反码，则容易有 ​
$$a+a^{\prime }+1=0$$

比较上述两式，可以得到：
$$b=a^{\prime }+1$$
也就是说，从补码的定义，我们可以推导出计算补码的方式：将对应正数的原码逐位取反，再在结果的基础上加 1，所得即为对应负数的补码表示。

以上。