题意
你有一个\(h\times w\)的棋盘，你需要在每个格子里填\([1, m]\)中的某个整数，且满足\(n\)个矩形限制：矩形的最大值为某定值。求方案数\(\bmod 10^9+7\)
\(h, w, m\leq 10^4,n\leq 10\)
题解
首先来考虑单独的一个矩形限制怎么做。假设矩形面积为\(s\)，最大值为\(v\)
易得答案是\(v^{s}-(v-1)^{s}\)，意思就是每个数随便选，然后减去所有数\(
现在考虑\(n\)个限制，实际上把棋盘分成了\(O(2^n)\)个部分。注意这里，包含两个格子的矩形集合相同，则两个格子算一个部分，并不是按四连通来定义的。
那我们对于每一部分，假设有若干的矩形包含它，那这个部分能放的最大值是所有包含它的矩形的限制的最小值。
这就是说一个矩形限制，被分成若干部分，这些部分必须有一个取到最大值，就考虑状压DP
\(dp[i][S]\)表示前i个部分，\(S\)集合里的矩形已经被满足，方案数是多少。
设当前部分\(i\)的大小为\(sz[i]\)，包含这个部分的矩形中限制恰好为当前部分限制\(v\)的矩形集合为\(cov[i]\)，当前部分的限制为\(v\)
要取到最大值：
\(dp[i + 1][j] += dp[i][j]\times (v-1)^{sz[i]}\)
不取最大值：
\(dp[i + 1][j | cov[i]] += dp[i][j](v^{sz[i]} - (v-1)^{sz[i]})\)
然后就很暴力地做完了。
比较新奇的是每个部分实际面积的求法（我没见过），对于每个交集，原大小减去子集的实际面积大小
代码更加直观地展现我在说什么。
#include
#include
using namespace std;
const int mo = 1e9 + 7;
const int N = 10;
struct matrix {
int x1, y1, x2, y2, d;
void operator &= (const matrix &b) {
d = min(d, b.d);
x1 = max(x1, b.x1);
y1 = max(y1, b.y1);
x2 = min(x2, b.x2);
y2 = min(y2, b.y2);
if(x1 > x2 || y1 > y2) d = -1;
}
} a[N], b[1 << N];
int h, w, m, n, t, dp[1100][1 << N], cov[1 << N], sz[1 << N], st[1 << N], sum;
void dfs(int u, matrix mat, int s) {
if(u == n) { b[s] = mat; return ; }
dfs(u + 1, mat, s); mat &= a[u];
dfs(u + 1, mat, s | (1 << u));
}
int qpow(int a, int b) {
int ans = 1;
for(; b >= 1; b >>= 1, a = 1ll * a * a % mo)
if(b & 1) ans = 1ll * ans * a % mo;
return ans;
}
void chk(int &u) { u >= mo ? u -= mo : 0; }
int main() {
int te; scanf("%d", &te);
while(te --) {
scanf("%d%d%d%d", &h, &w, &m, &n);
for(int i = 0; i < n; i ++)
scanf("%d%d%d%d%d", &a[i].x1, &a[i].y1, &a[i].x2, &a[i].y2, &a[i].d);
dfs(0, (matrix) {1, 1, h, w, m}, 0);
for(int i = 0; i < (1 << n); i ++) sz[i] = b[i].d == -1 ? 0 : (b[i].x2 - b[i].x1 + 1) * (b[i].y2 - b[i].y1 + 1);
for(int i = (1 << n) - 1; i >= 1; i --) {
sz[0] -= sz[i];
for(int j = (i - 1) & i; j; j = (j - 1) & i) sz[j] -= sz[i];
}
t = 0;
for(int i = 1; i < (1 << n); i ++) if(sz[i] >= 1) {
cov[i] = 0;
for(int j = 0; j < n; j ++) if((i >> j & 1) && a[j].d == b[i].d) cov[i] |= 1 << j;
}
for(int i = 1; i < (1 << n); i ++) if(sz[i] >= 1) st[++ t] = i;
for(int i = 0; i <= t; i ++) fill(dp[i], dp[i] + (1 << n), 0);
dp[0][0] = 1;
for(int i = 0; i < t; i ++) {
int nd = sz[st[i + 1]], up = b[st[i + 1]].d;
int t1 = qpow(up, nd), t2 = qpow(up - 1, nd);
for(int s = 0; s < (1 << n); s ++) if(dp[i][s]) {
chk(dp[i + 1][s] += 1ll * dp[i][s] * t2 % mo);
chk(dp[i + 1][s | cov[st[i + 1]]] += 1ll * dp[i][s] * (t1 - t2 + mo) % mo);
}
}
printf("%d\n", 1ll * qpow(m, sz[0]) * dp[t][(1 << n) - 1] % mo);
}
return 0;
}