今天要介绍一下母函数,定义为:
在数学中，某个序列的母函数(Generating function，又称生成函数)是一种形式幂级数，其每一项的系数可以提供关于这个序列的信息。使用母函数解决问题的方法称为母函数方法。
母函数可分为很多种，包括普通母函数、指数母函数、L级数、贝尔级数和狄利克雷级数。对每个序列都可以写出以上每个类型的一个母函数。构造母函数的目的一般是为了解决某个特定的问题，因此选用何种母函数视乎序列本身的特性和问题的类型。
这里先给出两句话，不懂的可以等看完这篇文章再回过头来看：
1.“把组合问题的加法法则和幂级数的乘幂对应起来”
2.“母函数的思想很简单 — 就是把离散数列和幂级数一 一对应起来，把离散数列间的相互结合关系对应成为幂级数间的运算关系，最后由幂级数形式来确定离散数列的构造.
我们首先来看下这个多项式乘法：
母函数图(1)
由此可以看出:
1.x的系数是a1,a2,…an 的单个组合的全体。
2. x^2的系数是a1,a2,…a2的两个组合的全体。
………
n. x^n的系数是a1,a2,….an的n个组合的全体（只有1个）。
进一步得到：
母函数图(2)
母函数的定义
对于序列a0，a1，a2，…构造一函数：
母函数图(3)
称函数G(x)是序列a0，a1，a2，…的母函数。
这里先给出2个例子，等会再结合题目分析：
第一种：
有1克、2克、3克、4克的砝码各一枚，能称出哪几种重量？每种重量各有几种可能方案？
考虑用母函数来解决这个问题：
我们假设x表示砝码，x的指数表示砝码的重量，这样：
1个1克的砝码可以用函数1+1*x^1表示，
1个2克的砝码可以用函数1+1*x^2表示，
1个3克的砝码可以用函数1+1*x^3表示，
1个4克的砝码可以用函数1+1*x^4表示，
上面这四个式子懂吗？
我们拿1+x^2来说，前面已经说过，x表示砝码，x的指数表示砝码的重量！初始状态时，这里就是一个质量为2的砝码。
那么前面的1表示什么？按照上面的理解，1其实应该写为：1*x^0,即1代表重量为2的砝码数量为0个。
所以这里1+1*x^2 = 1*x^0 + 1*x^2，即表示2克的砝码有两种状态，不取或取，不取则为1*x^0，取则为1*x^2
不知道大家理解没，我们这里结合前面那句话：
“把组合问题的加法法则和幂级数的乘幂对应起来“
接着讨论上面的1+x^2，这里x前面的系数有什么意义？
这里的系数表示状态数(方案数)
1+x^2，也就是1*x^0 + 1*x^2，也就是上面说的不取2克砝码，此时有1种状态；或者取2克砝码，此时也有1种状态。(分析！)
所以，前面说的那句话的意义大家可以理解了吧？
几种砝码的组合可以称重的情况，可以用以上几个函数的乘积表示：
(1+x)(1+x^2)(1+x^3)(1+x^4)
=(1+x+x^2+x^4)(1+x^3+^4+x^7)
=1 + x + x^2 + 2*x^3 + 2*x^4 + 2*x^5 + 2*x^6 + 2*x^7 + x^8 + x^9 + x^10
从上面的函数知道：可称出从1克到10克，系数便是方案数。（！！！经典！！！）
例如右端有2^x^5 项，即称出5克的方案有2种：5=3+2=4+1；同样，6=1+2+3=4+2；10=1+2+3+4。
故称出6克的方案数有2种，称出10克的方案数有1种 。
接着上面，接下来是第二种情况：
第二种：
求用1分、2分、3分的邮票贴出不同数值的方案数：
大家把这种情况和第一种比较有何区别？第一种每种是一个，而这里每种是无限的。
母函数图(4)
以展开后的x^4为例，其系数为4，即4拆分成1、2、3之和的拆分方案数为4；
即 ：4=1+1+1+1=1+1+2=1+3=2+2
这里再引出两个概念"整数拆分"和"拆分数"：
所谓整数拆分即把整数分解成若干整数的和（相当于把n个无区别的球放到n个无标志的盒子，盒子允许空，也允许放多于一个球）。
整数拆分成若干整数的和，办法不一，不同拆分法的总数叫做拆分数。
现在以上面的第二种情况每种种类个数无限为例，给出模板：
#include
using namespace std;
const int _max = 10001;
// c1是保存各项质量砝码可以组合的数目
// c2是中间量，保存没一次的情况
int c1[_max], c2[_max];
int main()
{ //int n,i,j,k;
int nNum; // 质量从0到n的所有砝码
int i, j, k;
while(cin >> nNum)
{
for(i=0; i<=nNum; ++i) /*首先对c1初始化，由第一个表达式(1+x+x^2+..x^n)初始化，把质量从0到n的所有砝码都初始化为1.*/
{
c1[i] = 1;
c2[i] = 0;
}
for(i=2; i<=nNum; ++i) /*i从2到n遍历，这里i就是指第i个表达式，上面给出的第二种母函数关系式里，每一个括号括起来的就是一个表达式。*/
{
for(j=0; j<=nNum; ++j) /*j 从0到n遍历，这里j就是(前面i個表达式累乘的表达式)里第j个变量，
如(1+x)(1+x^2)(1+x^3)，j先指示的是1和x的系数，i=2执行完之后变为（1+x+x^2+x^3）(1+x^3)，
这时候j应该指示的是合并后的第一个括号的四个变量的系数。*/
for(k=0; k+j<=nNum; k+=i) /*k表示的是第j个指数，所以k每次增i（因为第i个表达式的增量是i）。*/
{
c2[j+k] += c1[j];
}
for(j=0; j<=nNum; ++j) /*把c2的值赋给c1,而把c2初始化为0，因为c2每次是从一个表达式中开始的。*/
{
c1[j] = c2[j];
c2[j] = 0;
}
}
cout << c1[nNum] << endl;
}
return 0;
}
例 1.小明出门旅游， 需要带一些食物，包括薯片，巧克力，矿泉水，汉堡，牛奶和糖果。
经过估计，他觉得带 n(n 10100) 件食物比较合适，但他还有一些癖好：
1.最多带 1 个汉堡
2.巧克力的块数是 5 的倍数
3.最多带 4 瓶矿泉水
4.薯片的包数是一个偶数
5.最多带 3 罐牛奶
6.糖果的个数是 4 的倍数
问你小明有多少种方式来准备这次旅行所带的食物。
处理本题一般的思路是首先考虑 1， 3， 5 三个条件，可以用枚举来解决，之后问题转成了一个不定方程非负整数解的问题： 5x + 2y + 4z = m
首先想到的方法是用 f (m) 表示 5x + 2y + 4z = m 非负整数解的个数,把 3 个变量分开来考虑做 3 次时间复杂为O(n) 的递推
还有一种想法是枚举 x 的取值，然后对剩下的方程先用欧基里德扩展算法求出一组解，再算出解的个数。
以上两种算法的时间复杂度无法满足题目中 n 的大小，而且第 2 种方法在条件数增多后没有推广性
[分析]:
我们再来看看母函数是怎样解决本题的： 汉堡可以不带或者带一个，对应的母函数：
h(x) =1 + x
巧克力必须 5 的整倍数个带，可以带 0 个， 5 个， 10 个……，巧克力对应的生成函数为
c(x) =1 + x^5 + x^10 + x^15 + ... = 1/(1-x^5)
薯片也要 2 的整倍数包带，也可以写出它的生成函数：
p(x)= 1 + x^2 + x^4 + x^6 + ... =1/(1-x^2)
矿泉水至少带 4 瓶，生成函数为：
w(x) = 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 = (1-x^5)/(1-x)
最多带 3 罐牛奶，生成函数为：
m(x) = 1 + x + x^2 + x^3 = (1-x^4)/(1-x)
糖果的个数是 4 的倍数，生成函数为：
s(x) = 1 + x^4 + x^8 + x^12... = 1/(1-x^4)
运用卷积规则，得到小明带 n 件食物选择方案的生成函数：
h(x)c(x)p(x)w(x)m(x)s(x)=1/(1-x^3)=1+C(2,3)x+C(2,4)x^2+C(2,5)x^3+...
发现最后竟然就只剩下一个很简单的形式，前面的预备知识中已经解决了它， x^n 的系
数就是C (2,n+2) ,也就是本题要求的答案。 这样我们运用母函数的方法解决了本问题，时间复杂度仅为O(1) 而且基本没有编程难
度，在 n 比较大的时候需要使用高精度乘法 .本题的答案比较特殊，可能一些同学会觉得找规律的方法会更加的快捷，但对于一些结
果并不是很简洁的题目时，这种找规律的方法就基本无效了。
[小结]
本问题充分体现了母函数的优越性，限制条件被转化成了我们容易处理的东西，并用十
分机械化的手法解决了本问题。通过本题，我们发现运用母函数不仅能降低程序的时间复杂
度和代码量，还能减少思维难度 .