剑指offer面试题51：数组中的逆序对（Java 实现）

题目：在数组中的两个数字如果前面一个数字大于后面的数字，则这两个数字组成一个逆序对。输入一个数组，求出这个数组中的逆序对的总数例如在数组｛7，5，6，4｝中，一共存在5对逆序对，分别是｛7，6｝，｛7，5｝，｛7，4｝，｛6，4｝，｛5，4｝。

测试用例：

1. 功能测试：输入未经排序的数组；递增排序的数组；递减排序的数组；输入的数组包含重复的数字。
2. 边界测试：输入的数组只有两个数字；输入的数组只有一个数字。
3. 负面测试：输入的数组为空。

方法一：暴力法，时间复杂度为 O（n²）。

思路：看到这个题目，我们的第一反应就是顺序扫描整个数组。每扫描到一个数组的时候，逐个比较该数字和它后面的数字的大小。如果后面的数字比它小，则这两个数字就组成一个逆序对。假设数组中含有n个数字。由于每个数字都要和O(n）个数字做比较，因此这个算法的时间复杂度为O(n²)。我们尝试找找更快的算法。

方法二：利用一个辅助数组，用空间换时间，时间复杂度为 O（nlogn），空间复杂度为 O（n）。

思路：

如下图所示，我们先把数组分解称两个长度为2的子数组，再把这两个子数组分别茶城两个长度为1的子数组。接下来一边合并相邻的子数组，一边统计逆序对的数目。在第一对长度为1的子数组｛7｝，｛5｝中7大于5，因此｛7，5｝组成一个逆序对。同样在第二对长度为1的子数组｛6｝，｛4｝中也有逆序对｛6，4｝。由于我们已经统计了这两队子数组内部逆序对，因此需要把这两对子数组排序，以免在以后的统计过程中再重复统计。

接下来我们统计两个长度为2的子数组之间的逆序对。

我们先用两个指针分别指向两个子数组的末尾，并每次比较两个指针指向的数字。如果第一个子数组中的数字大于第二个子数组中的数字，则构成逆序对，并且逆序对的数目等于第二个子数组中的剩余数字的个数。如果第一个数组中的数字小于或等于第二个数组中的数字，则不构成逆序对。每一次比较的时候，我们都把较大的数字从后往前复制到一个辅助数组中去，确保辅助数组中的数字是递增排序的。在把较大的数字复制到数组之后，把对应的指针向前移动一位，接着来进行下一轮的比较。

经过前面详细的讨论，我们可以总结出统计逆序对的过程：先把数组分隔成子数组，先统计出子数组内部的逆序对的数目，然后再统计出两个相邻子数组之间的逆序对的数目。在统计逆序对的过程中，还需要对数组进行排序。如果对排序算法很熟悉，我们不难发现这个排序的过程就是归并排序。

public class test_fifty_one {
	public int InversePairs(int[] array){
		if(array == null || array.length == 0)return 0;
		
		//用来存放复制的数组
		int[] copy = new int[array.length];
		
		int count = InversePairsCore(array, copy, 0, array.length-1);
		return count;
	}

	//构造递归函数
	private int InversePairsCore(int[] array, int[] copy, int low, int high) {
		//递归结束条件
		if(low == high)return 0;
		
		int mid = (low + high) >> 1;
		
		//分治算法，将数组分为两部分
		int leftCount = InversePairsCore(array, copy, low, mid) % 1000000007;
		int rightCount = InversePairsCore(array, copy, mid+1, high) % 1000000007;
		
		int count = 0;
		int i = mid;
		int j = high;
		int copyIndex = high;
		
		//将子数组合并、排序、计算逆序数
		while(i >= low && j > mid){
			
			//合并时前半部分的array[i]>array[j],
			//即array[j]前面的数字都会比array[i]小，以此来计算逆序数
			if(array[i] > array[j]){
				count = count + j-mid;
				copy[copyIndex--] = array[i--];
				
				//如果count过大，即对count进行取余处理
				if(count >= 1000000007)
					count = count % 1000000007;
			}
			else{
				copy[copyIndex--] = array[j--];
			}
		}
		//将数组中剩余元素复制到copy数组中，排好序
		for(; i >= low; i--){
			copy[copyIndex--] = array[i];
		}
		for(; j > mid; j--){
			copy[copyIndex--] = array[j];
		}
		//将排好序的数组服回给原数组，进行下一步的合并
		for(int s=low;s <= high;s++){
	        array[s] = copy[s];
	    }
		return (count + leftCount + rightCount) % 1000000007;
	}
}