2020牛客多校第一场B题 Infinite Tree 虚树

Infinite Tree

题意

一颗无限结点的树，任意大于$1$的点$k$与点$\frac{k}{mindiv\left(k\right)}$相连，其中$mindiv\left(k\right)$为$k$的最小质因子
记$\delta \left(u,v\right)$为树上$u-v$之间的距离，求${\min }_u\sum _{i=1}^m{w}_i\delta \left(u,i!\right)$

题解

不考虑本题的树

我们先考虑这个题在已经知道树的结构下怎么解
显然$\delta \left(u,v\right)=dis\left(u,v\right)$
${\min }_u\sum _{i=1}^m{w}_i\delta \left(u,i!\right)=\underset{u}{\min }\sum _{i=1}^m{w}_{i}dis\left(u,i!\right)$
在$root=1$的树中，假设现在$u=1$，那么当前答案$ans=\sum _{i=1}^m{w}_{i}dis\left(1,i!\right)$
记$f[u]=w[u]+\sum _{v\in son}f[v]$，那么在图中，显然$f[1]=\sum _{i=1}^m{w}_i$
现在考虑当我们的点$u$转移到$u$的一个子节点$v$时，答案会发生什么变化
那么就有$f[1]-f[v]$多一段移动距离$dis\left(u,v\right)$，$f[v]$少一段移动距离$dis\left(u,v\right)$
所以当我们转移$u$点能够使答案变小的时候，即$(f[1]-f[v])-(f[v])=f[1]-2f[v]<0$时，我们就会移动$u$点，当不能继续移动时我们就找到了最终的答案

void dfs(int u, int fa) {//第一个dfs结束后，w就是子树的w之和，就是上面讲的f
   	f[u] = w[u]
    for (auto &v: g[u])
        if (v != fa) {
            dfs(v, u);
            f[u] += f[v];
        }
}
void dfs2(int u, int fa) {//如果rt移动之后答案变小就一直移动下去，直到答案不在变小
    for (auto &v: g[u])
        if (v != fa) {
            //rt从u转移到v的代价
            //+(w[1] - w[v]) - w[v]
            if (w[1] - 2 * w[v] < 0) {
                ans += 1ll * (w[1] - 2 * w[v]) * (dep[v] - dep[u]);//一步的代价*距离
                dfs2(v, u);
            }
        }
}

或者如果觉得这里路径不是单一的，可以用$dp$数组来记录以每一个点为中心的答案，最后找到最小的就行

本题树的结构

接下来我们将本题构造的树画出来，下面是$m=6$的时候建的树
因为任意大于$1$的点$k$与点$\frac{k}{mindiv\left(k\right)}$相连，所以这里我更直观的将$mindiv$标了出来，就是图上的边权

对于结点$i$作质因数分解，记为$i=p_1^{k_1}{p}_2^{k_2}\cdot \cdot \cdot p_n^{k_n}$
这棵树从根节点$1!$到点$i$的路径中，质因子由大变小，即经过的路径边上的质因数是形如$5,5,5,3,3,2,2,2,2$
且有$dis(i,1!)=\sum _{i=1}^n{k}_i$
而本题最大的点$m!,1\le m\le 1e5$是一个非常大的点，要将整棵树全部保存下来是不可能的

虚树

先来看看这个图(假设所有$w_i=1$，蓝色的字为结点的$f$值)

除了绿色的点之外，其他所有的点的$f$值都和他们的子节点相等！
也就是说，如果我们能够移动到点$v$，即有$f[1]-2f[v]<0$，如果$f[vv]=f[v]$那么肯定会继续移动下去
所以这些$f$值不变的点都是不重要的
只有我们的目标点$i!$和他们的最近公共祖先$lca$是有用的，这个就是虚树的概念

这样我们保留了绿色的点，新建的树就是这样：

现在考虑怎么建虚树
目标点$i!$好说，就是他们之间的$lca$比较难求
之前我们说了：
这棵树从根节点$1!$到点$i$的路径中，质因子由大变小，即经过的路径边上的质因数是形如$5,5,5,3,3,2,2,2,2$
所以当$i!=p_1^{k_1}{p}_2^{k_2}\cdot \cdot \cdot p_n^{k_n}$，当变成$(i+1)!$时，这条路径最先改变的地方就是$(i+1)$的最大质因子
如$2^4{3}^2{5}^3$乘$2^1{3}^1$时
原来的路径：$5,5,5,3,3,2,2,2,2$
现在的路径：$5,5,5,3,3,3,2,2,2,2,2$
所以$dep[lca((i+1)!,i!)]=sum(maxdiv(i+1),n)$
这样我们能够顺利找到两个相邻点之间的$lca$
为什么不用考虑所有点呢，因为构造这棵树的时候已经是按$dfs$序排序了，所以考虑相邻的两个点即可

虚树的构造部分代码：

void buildVirtualTree() {
    tot = n; st[top = 1] = 1;
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        dep[i] = dep[i - 1] + 1; int j = i;
        for (; j != mindiv[j]; j /= mindiv[j]) dep[i]++;
        //一般的树都是直接找lca的，但是这里是这样找的
        //上面操作完成后，j = maxdiv(i)
        lcadep[i] = query(n) - query(j - 1);//这一步就是查找sum(maxdiv(i), n)
        //可以按照上面的图中的5!和6!两个点模拟一下
        for (j = i; j != 1; j /= mindiv[j]) upd(mindiv[j], 1);
    }
    //下面和一般的虚树板子类似
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        while (top > 1 && dep[st[top - 1]] >= lcadep[i])
            add_edge(st[top - 1], st[top]), top--;
        if (dep[st[top]] != lcadep[i]) {
            dep[++tot] = lcadep[i];
            add_edge(tot, st[top]);
            st[top] = tot;
        }
        st[++top] = i;
    }
    while (top > 1) add_edge(st[top - 1], st[top]), top--;
}

代码

#include
#define lowbit(x) x&-x
using namespace std;
typedef long long ll;
const int MAX = 2e5 + 10;
//建立虚树点数tot < 2n, 空间开两倍

int n, w[MAX];
ll ans;

//树状数组
int c[MAX];
void upd(int p, int k) { for (; p <= n; p += lowbit(p)) c[p] += k; }
int query(int p) { int res = 0; for (; p; p -= lowbit(p)) res += c[p]; return res; }

int mindiv[MAX];
void sieve(int siz) {//筛mindiv
    for (int i = 2; i <= siz; i++)
        if (!mindiv[i])
            for (int j = i; j <= siz; j += i)
                if (!mindiv[j])
                    mindiv[j] = i;
}

int lcadep[MAX], dep[MAX];
int st[MAX], top, tot;//stack, top, tot:虚树点数
vector<int> g[MAX];//虚树
void add_edge(int u, int v) { g[u].push_back(v), g[v].push_back(u); }

void buildVirtualTree() {
    tot = n; st[top = 1] = 1;
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        dep[i] = dep[i - 1] + 1; int j = i;
        for (; j != mindiv[j]; j /= mindiv[j]) dep[i]++;
        lcadep[i] = query(n) - query(j - 1);
        for (j = i; j != 1; j /= mindiv[j]) upd(mindiv[j], 1);
    }
    //建树
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        while (top > 1 && dep[st[top - 1]] >= lcadep[i])
            add_edge(st[top - 1], st[top]), top--;
        if (dep[st[top]] != lcadep[i]) {
            dep[++tot] = lcadep[i];
            add_edge(tot, st[top]);
            st[top] = tot;
        }
        st[++top] = i;
    }
    while (top > 1) add_edge(st[top - 1], st[top]), top--;
}

void dfs(int u, int fa) {
    ans += 1ll * w[u] * dep[u];//ans最开始是rt = 1时的答案
    for (auto &v: g[u])
        if (v != fa) {
            dfs(v, u);
            w[u] += w[v];
        }
}

void dfs2(int u, int fa) {//如果rt移动之后答案变小就一直移动下去，直到答案不在变小
    for (auto &v: g[u])
        if (v != fa) {
            //rt从u转移到v的代价
            //+(w[1] - w[v]) - w[v]
            if (w[1] - 2 * w[v] < 0) {
                ans += 1ll * (w[1] - 2 * w[v]) * (dep[v] - dep[u]);//一步的代价*距离
                dfs2(v, u);
            }
        }
}

void init() {
    ans = top = 0;
    for (int i = 1; i <= tot; i++) g[i].clear(), c[i] = w[i] = lcadep[i] = dep[i] = 0;
}

int main() {

    sieve(1e5);
    while (~scanf("%d", &n)) {
        init();
        for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &w[i]);
        buildVirtualTree();
        int rt = 1; dfs(rt, 0); dfs2(rt, 0);
        printf("%lld\n", ans);
    }

    return 0;
}