虚树详细讲解

新学虚树，写篇文章仔细地回顾一下吧。。。这玩意花了挺长时间的。

什么是虚树

虚树常常被使用在树形 $dp$ 中，就比如这题。当一次询问仅仅涉及到整颗树中少量结点时，为每次询问都对整棵树进行 $dp$ 在时间上是不可接受的。此时，我们建立一颗仅仅包含部分关键结点的虚树，将非关键点构成的链简化成边或是剪去，在虚树上进行 $dp$ 。

虚树包含所有的询问点及它们之间的 $lca$ 。显然虚树的叶子节点必然是询问点，因此对于某次含有 $k$ 个点的询问，虚树最多有 $k$ 个叶子结点，从而整颗虚树最多只有 $2k-1$ 个结点（这会在虚树变成二叉树形态时达到）。

建立虚树之前

我们需要：

预处理出原树的 $dfs$ 序以及 $dp$ 可能用到的一些其他东西。

高效的在线 $LCA$ 算法，单次询问 $O(logn)$ 的倍增和树剖， $O(1)$ 的 $RMQ-ST$ 皆可。

将询问点按 $dfs$ 序排序。

如何建立虚树

最右链是虚树构建的一条分界线，表明其左侧部分的虚树已经完成构建。我们使用栈 $stak$ 来维护所谓的最右链， $top$ 为栈顶位置。值得注意的是，最右链上的边并没有被加入虚树，这是因为在接下来的过程中随时会有某个 $lca$ 插到最右链中。

初始无条件将第一个询问点加入栈 $stak$ 中。

将接下来的所有询问点顺次加入，假设该询问点为 $now$ ， $lc$ 为该点和栈顶点的最近公共祖先即 $lc=lca(stak[top],now)$ 。

由于 $lc$ 是 $stak[top]$ 的祖先， $lc$ 必然在我们维护的最右链上。

考虑 $lc$ 和 $stak[top]$ 及栈中第二个元素 $stak[top-1]$ 的关系。

情况一

$lc=stak[top]$ ，也就是说， $now$ 在 $stak[top]$ 的子树中

这时候，我们只需把 $now$ 入栈，即把它加到最右链的末端即可。

情况二

$lc$ 在 $stak[top]$ 和 $stak[top-1]$ 之间。

显然，此时最右链的末端从 $stak[top-1]->stak[top]$ 变成了 $stak[top-1]->lc->stak[top]$ ，我们需要做的，首先是把边 $lc-stak[top]$ 加入虚树，然后，把 $stak[top]$ 出栈，把 $lc$ 和 $now$ 入栈。

情况三

$lc=stak[top-1]$ 。

这种情况和第二种情况大同小异，唯一的区别就是 $lc$ 不用入栈了。

情况四

此时有 $dep[lc]<dep[stak[top-1]]$

以图中为例，最右链从 $stak[top-3]->stak[top-2]->stak[top-1]->stak[top]$ 变成了 $stak[top-3]->lc->now$ 。我们需要循环依次将最右链的末端剪下，将被剪下的边加入虚树，直到不再是情况四。

就上图而言，循环会持续两轮，将 $stak[top],stak[top-1]$ 依次出栈，并且把边 $stak[top-1]-stak[top],stak[top-2]-stak[top-1]$ 加入虚树中。随后通过情况二完成构建。

#

当最后一个询问点加入之后，再将最右链加入虚树，即可完成构建。

一些问题

1. 如果栈 $stak$ 中仅仅有一个元素，此时 $stak[top-1]$ 是否会出问题？

对于栈 $stak$ ，我们从 $1$ 开始储存。那么在这种情况下， $stak[top-1]=0$ ，并且 $dep[0]=0$ 。此时 $dep[lc]<dep[stak[top-1]]$

2. 如何在一次询问结束后清空虚树？

不能直接对图进行清空，否则复杂度会退化到 $O(n)$ 的复杂度，这是我们无法承受的。在 $dfs$ 的过程中每当访问完一个结点就进行清空即可。

回到本题

以样例的询问二为例（如下图）

建立虚树是长这个样子的

在本题中，建立有向树即可。我们预处理出 $minv[pos]$ 代表从 $1$ 到 $pos$ 路径上最小的边权。如果 $pos$ 是询问点，那么切断 $pos$ 及其子树上询问点的最小代价 $dp(pos)=minv[pos]$ ，否则，最小代价 $dp(pos)=min(minv[pos],\sum dp(to))$ （其中 $to$ 是 $pos$ 的儿子）。值得注意的是，即使 $pos$ 是询问点，按道理用不到 $dp(to)$ 的值，但仍旧需要对其儿子进行 $dfs$ ，因为清空虚树需要对整个虚树进行遍历。

还有答案会爆 $int$ ，所以不仅数组要开 $LL$ ，初始化的 $INF$ 也有必要开得足够大。我一开始直接拿 $0x3f3f3f3f$ 结果 $WA$ 了最后一个点。。。。

最后就是蒟蒻码风清奇常数巨大命名混乱的代码了

第一次写那么长的题解，以上内容均为口胡。由于自己实在是太蒟蒻了，错误缺漏之处在所难免，如有发现烦请各位大佬们指正。

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#define mid ((l + r) >> 1) 
#define Lson rt << 1, l , mid
#define Rson rt << 1|1, mid + 1, r
#define ms(a,al) memset(a,al,sizeof(a))
#define log2(a) log(a)/log(2)
#define _for(i,a,b) for( int i = (a); i < (b); ++i)
#define _rep(i,a,b) for( int i = (a); i <= (b); ++i)
#define for_(i,a,b) for( int i = (a); i >= (b); -- i)
#define rep_(i,a,b) for( int i = (a); i > (b); -- i)
#define lowbit(x) ((-x) & x)
#define IOS std::ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(0); cout.tie(0)
#define INF 0x3f3f3f3f
#define LLF 0x3f3f3f3f3f3f3f3f
#define hash Hash
#define next Next
#define count Count
#define pb push_back
#define f first
#define s second
using namespace std;
const int N = 1e6+10, mod = 1e9 + 9;
const long double eps = 1e-5;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int,int> PII;
typedef pair<ll,ll> PLL;
typedef pair<double,double> PDD;
template<typename T> void read(T &x)
{
    x = 0;char ch = getchar();ll f = 1;
    while(!isdigit(ch)){if(ch == '-')f*=-1;ch=getchar();}
    while(isdigit(ch)){x = x*10+ch-48;ch=getchar();}x*=f;
}
template<typename T, typename... Args> void read(T &first, Args& ... args) 
{
    read(first);
    read(args...);
}
int n, p;
int str[N], top;
int f[N][30];
int head[N], cnt;
ll mi[N];
int dep[N], dfn[N], idx;
int q[N];
vector<int> v[250010];
struct node {
    int to, next, w;
} e[N];
inline void dfs(int u, int fa)
{
    dep[u] = dep[fa] + 1;
    f[u][0] = fa;
    dfn[u] =  ++ idx;
    for(int i = head[u]; ~i; i = e[i].next)
    {
        int v = e[i].to;
        if(v == fa) continue;
        mi[v] = min((ll)e[i].w,mi[u]);
        dfs(v,u);
    }
}

inline void LCAinit()
{
    dfs(1,0);
    for(int j = 0; 1 << (j + 1) < n; ++ j)
      for(int i = 1; i <= n; ++ i)
       if(!f[i][j]) f[i][j + 1] = 0;
       else f[i][j + 1] = f[f[i][j]][j];
}

inline int LCA(int u, int v)
{
    if(dep[u] < dep[v]) swap(u,v);
    int delta = dep[u] - dep[v];
    for(int i = 0; (delta >> i) > 0; ++ i)
      if(delta >> i & 1) u = f[u][i];
    
    if(u == v) return u;
    for(int i = log2(n); i >= 0; -- i)
       if(f[u][i] != f[v][i])
         u = f[u][i], v = f[v][i];
     return f[u][0];
}

inline void add(int from, int to, int w)
{
    e[cnt] = {to,head[from],w};
    head[from] = cnt ++;
}

inline void add(int x,int y)
{
		v[x].push_back(y);
}

inline bool cmp(int a, int b)
{
    return dfn[a] < dfn[b];
}

inline void insert(int u)
{
    if(top == 1) {str[++ top] = u; return;}
    int lca = LCA(u,str[top]);
    if(lca == str[top]) return;
    while(top > 1 && dfn[lca] <= dfn[str[top - 1]])
    {
        add(str[top - 1], str[top]);
        top --;
    }
    if(str[top] != lca) add(lca,str[top]), str[top] = lca;
    str[++ top] = u;
}

inline ll dp(int x)
{
		if(v[x].size()==0) return mi[x];
		ll ans=0;
		for(register int i=0;i<v[x].size();i++){
			ans+=dp(v[x][i]);
		}
		v[x].clear();
		return min(ans,mi[x]);
}

int main()
{
    ms(head,-1);
    ms(mi,LLF);
    read(n);
    for(int i = 0; i < n - 1; ++ i)
    {
        int l , r , w;
        read(l,r,w);
        add(l,r,w);
        add(r,l,w);
    }
    LCAinit();
    int m;
    read(m);
    while(m --)
    {
        int num;
        read(num);
        for(int i = 0; i < num; ++ i)
            read(q[i]);
        sort(q,q+num,cmp);
        str[++ top] = 1;
        for(int i = 0; i < num; ++ i) insert(q[i]);
        while(--top) add(str[top],str[top + 1]);
        cout << dp(1) << endl;
    }
    return 0;
}