离散数学知识点小结（随缘更新）

经历了忙于转专业和竞赛的上学期，我深深地意识到人的能力是有限的…所以我不做人了认为应该及时总结知识来促进掌握，而且可以留作日后复习用。

参考书目（教材） 《离散数学（第五版）》 清华大学出版社

---

1. 当、仅当、当且仅当 三者的关系
   a. p当q ：即为「q->p」，q是p的充分条件.
   b. p仅当q：就是 「仅当q，p」 ，可知「非q->非p」，取逆反命题，即为
   「p->q」，q是p的必要条件.
   c. p当且仅当q： 可知是充分必要条件了（if and only if).

2. 笛卡儿积: 有序对 .
   假设集合A={a, b}，集合B={0, 1, 2}，则两个集合的笛卡尔积为{(a, 0), (a, 1), (a, 2), (b, 0), (b, 1), (b, 2)}。

3. 若 a<->b 是重言式，则称a与b是等值的，记作a<=>b.

4. 24个重要等值式
   

5. 析取 ∨ 合取 ∧
   由有限个命题变项或其否定构成的析取式称为简单析取式.仅由有限个命题变项或其否定构成的合取式称为简单合取式.
   

6. 仅由有限个简单合取式构成的析取式称为析取范式，仅由有限个简单析取式构成的合取式称为合取范式。

7. UI : Universal Instantiation ∀xP(x) -> P(a)
   UG: Universal Generalization any y P(y) -> P(x)
   EI: Existential Instantiation ∃xP(x)-> P(y) some y
   EG: Existential Generalization some y P(y)-> ∃xP(x)

---

UPD:更新图论内容
（期末之前一定要更完！）

图论的概念、定义非常多，不过多数概念可以“意会”
学习了图论的相关知识后，可以更好地学习算法（先学了算法再看图论也行，算法懂了涉及的知识也就大致明白了）

1. 无向图：顶点&无序对
2. 有向图：顶点&有序对
3. n阶图：有n个顶点的图 没有一条边的图称为零图 一阶零图称为平凡图
4. 关联：在无向图G=中，设e=(u,v)是G的一条边，则称u,v为e的端点，e与u(和v)关联。无边关联的点称为孤立点.
5. 度：无向图中：顶点v作为边的端点的次数之和为v的度数
   有向图中：顶点v作为边的始点的次数之和为v的出度 反之则为入度
   度数为二者之和
   称度数为1的顶点为悬挂顶点，它所关联的边叫做悬挂边
6. 握手定理：有向/无向图的度数和等于边数的2倍
7. 有向图中入度和与出度和均与边数相等
8. 平行边：（无向图）多于一条的关联一对顶点的边，平行边的条数叫做重数 （有向图）始点终点相同的边 含有平行边的图称为多重图，不含平行边和环的图称为简单图
9. 完全图：（无向图）任意顶点与剩余顶点都相邻 （有向图）任意顶点与剩余顶点都相邻 双向连接
10. 打不出符号 母图、子图、补图的相关概念见

https://baike.baidu.com/item/%E5%AD%90%E5%9B%BE/8737707?fr=aladdin

1. 同构：设两个无向图G1= ,G2= 如果存在双射函数 f：V1-> V2，使得对于任意的e=(u,v)∈E1,当且仅当e’=(f(u),f(v))∈E2,并且e与e’的重数相同，则称G1与G2是同构的，记作G1≌G2.
   同构的图论概念最早好像是个化学家提出的，还记得上高中时数同分异构体的方法吗？
2. 通路：顶点v1到顶点vn的顶点和边的交替序列 λ=v1e1v2e2…envn 边的数目l称为λ的长度.当v1=vn时，称此通路为回路.若边不重复，则称之为简单通路，当v1=vn时，称其为初级回路或圈.有边重复出现的通路称为复杂通路，有边重复出现的回路称为复杂回路.
3. 在一个无向图G中，若从顶点u到v存在通路，则称u和v时连通的.点和自身总是连通的；有向图G中，若从u到v存在通路，则称u可达v.
4. 无向图G是平凡图或G中任意两点都是连通的，则称G是连通图
5. 若有向图D得出的无向图G，G是连通图，则称D是弱连通图（连通图）；
   若D中任意两顶点至少一个可达另一个，则称D是单向连通图.若D中任何一对顶点都是相互可达的，则称D是强连通图。
6. 割点： 删除该点后原图变为非连通图
7. 割边： 删除该边后原图变为非连通图
8. 点割集：割点的集合 边割集：割边的集合
9. 最短路径:建议先学习dp（动态规划）思想，以便于理解算法

---

二部图可以引申出匈牙利算法…