2020牛客暑期多校训练营（第一场）

A

题意

一个字符串 $s$ 的表示 $B$ 是一个数组：如果第 $i$ 位之前有一位 $j$ 与它相同，则 $b_i$ 为 $i$ 与最大的 $j$ 的差，否则 $b_i=0$。

按照 $B$ 的字典序对给定字符串 $s$ 的所有后缀进行排序。

数据范围：$1\le n\le 10^5,\sum n\le 10^6$，字符集为 $\{a,b\}$。

题解

两个串的表示相同当且仅当两个串相同或者将其中一个反转（a->b,b->a）后相同。

所以很容易比较两个后缀的 $B$ 的大小，即得到 lcp(S,T)，lcp(S,T反转) 后比较后一位 $b_i$ 的大小。

lcp 使用后缀数组维护，那么比较是 $O(1)$ 的，直接排序即可。时间复杂度 $O(n\log n)$。

F

题意

定义 $x^{\infty }$ 为无数个串 $xxx\cdots$ 拼起来。

给定两个串 $a,b$，比较 $a^{\infty }$ 和 $b^{\infty }$ 的字典序。

数据范围：$1\le |a|,|b|\le 10^5$，$\sum |a_i|+|b_i|\le 2\times 10^6$。

题解

将 $a,b$ 分别倍长一倍然后比大小即可。

J

题解

之前没学过分部积分法，我哭了。

考虑此式变为 ${\int }_0^1{x}^n(1-x{)}^{n}dx$，令 $u=(1-x{)}^n,dv=x^{n}dx$ 即 $v=\frac{x^{n+1}}{n+1}$，由分部积分法
$${\int }_{x=0}^{1}udv=uv{|}_{x=0}^1-{\int }_{x=0}^{1}vdu$$
而 $\frac{du}{dx}=-n(1-x{)}^{n-1}$，所以
$${\int }_{x=0}^{1}udv={(1-x{)}^n\frac{x^{n+1}}{n+1}|}_{x=0}^1+{\int }_{x=0}^1\frac{x^{n+1}}{n+1}n(1-x{)}^{n-1}dx=\frac{n}{n+1}{\int }_{x=0}^1{x}^{n+1}(1-x{)}^{n-1}dx$$
这启示我们令
$$I_i={\int }_{x=0}^1{x}^{n+i}(1-x{)}^{n-i}dx$$
仿照上面的分部积分过程可以得到
$$I_i=\frac{n-i}{n+i+1}{I}_{i+1}$$
边界为 $I_{n-1}=\frac{1}{2n(2n+1)}$，所以我们直接得到答案
$$I_0=\frac{(n!{)}^2}{(2n+1)!}$$