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特征分解、奇异值分解几何意义

为了从直观上理解特征分解和奇异值分解，可以研究一下它们的几何意义

特征值、特征向量

假设有矩阵 A 和其特征向量 x ，它们满足 Ax=λx ，其中 λ 为特征值。

从上式就能看出 x 的几何意义：在线性变换 A 下，保持方向不变的向量。

一般的，矩阵 A 作用在（相乘）一个向量上，会使该向量发生缩放、旋转变换。如果我们换一下坐标系，以 A 的特征向量作为基，那么会发现 A 的作用只是在基的方向上进行了缩放，相当于新坐标系下的对角矩阵产生的效果，而这个对角矩阵的元素正好就是有所有的特征值构成。

新坐标系的基是由 A 的特征向量组成，所以它们应该是正交的。想象二维平面上的一个圆，经过变换后，形成了一个椭圆，椭圆的两个轴的方向，就是这个变换的特征向量的方向；椭圆的轴长就是特征值的大小。

如果存在一个特征值对应多个特征向量的情况，相当于这种缩放效果在多个方向上是对称的。可以想象成一个圆被放大或缩小后还是一个圆，相当于变换后形成的椭圆，其两个轴是等长的，而且任意两个经过圆心且垂直的方向都可以作为轴的方向，所以此时的特征分解的结果就不唯一了。

正定矩阵

所有特征值都为正的矩阵，称为正定矩阵。

这里讨论了正定矩阵的几何意义：
https://www.zhihu.com/question/22098422

奇异值和特征值的异同：
https://www.zhihu.com/question/19666954

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