Show that DES decryption is, in fact, the inverse of DES encryption.

首先DES的流程:

• IP First, the 64-bit plaintext passes through an initial permutation.
• 16Rounds of the same function
• 32-bit swap
• IP^(-1) Inverse initial permutation

而With the exception of the initial and final permutations, DES has the exact structure of a Feistel cipher.

所以我们先来看看Feistel cipher

对于16轮的Feistel cipher，Input(plaintext)分成2组，每组32位，左右分别为LEi与REi，i为轮数
根据其结构有2个式子，记为式组1

LEi = REi-1  
REi = LEi-1 ⊕ F(REi-1,Ki) 

按轮数依次执行，直至第16轮完结，预输出是 LE16 RE16
经过一个置换，得到密文为 RE16LE16

以此作为原始装置的输入解密，但注意Key必须从K16...K1 ,调用有

LD0 = RE16  
RD0 = LE16  

此时我们重新看式组1得

LE16 = RE15
RE16 = LE15 ⊕ F（RE15, K16）
则
LD1 = RD0 = LE16 = RE15
RD1 = LD0 ⊕ F(RD0, K16)
    = RE16 ⊕ F(RE15, K16)
    = [LE15 ⊕ F(RE15, K16)] ⊕ F(RE15, K16)
    /*根据异或的结合率*/
    = LE15

即有解密第1轮输出是加密第16轮输入左右部分互换的值.
解密第2轮输出是加密第15轮输入左右部分互换的值，结构相同，则可得
解密第i轮输出是加密第17-i轮输入左右部分互换的值
解密第16轮输出是加密第1轮输入左右部分互换的值
即RE₀ LE₀
再经过Feistel最后的32bit swap,得第一轮原始输入 LE₀ RE₀

以上说明 Feistel cipher结构加解密可同用一个结构，即加密和解密互逆

而DES前后加入了IP和IP^-1,假设64bit plaintext分开为L₀,R₀
则对于DES中的Feistel结构而言，输入为IP(L₀,R₀),记为LE₀,RE₀,输出为RE₁₆,LE₁₆
出来再经过一次IP^-1，最终输出为IP^-1（RE₁₆,LE₁₆）
以此作为解密的输入,由于IP与IP^-1互逆
经解密DES中的IP处理后，解密Feistel结构的输入其实就是
RE₁₆,LE₁₆，然后根据之前Feistel结构的总结，得Feistel部分的输出为LE₀,RE₀
即IP(L₀,R₀), 最后经DES的IP^-1函数处理，即得原文L₀,R₀，毕。