编辑距离算法（动态规划）

最近在看ctc的经典论文。谈及了语音识别中的字符串编辑距离。
编辑距离：
就是一个字符串经过一些操作变成与另一个字符串相同的代价。概念有点像推土距离，不过推土距离没有字符串中的顺序问题。编辑操作包括将一个字符替换成另一个字符，插入一个字符，删除一个字符。编辑距离越小，两个串的相似度越大。

可以举个例子来总结规律。
比如
A：cdapph
B: ddcpih
初始化A和B的指针，都指向两个字符串开头i=1,j=1.
1.可以插入A对应位置也就是i-1位置上B的j指针对应的字符，也就是A变成dcdapph。
2.也可以在B对应位置删除j对应的字符。也就是B变成dcpih。
3.也可以是某一个直接修改成对应字符。比如A修改成ddapph。当然如果i位置和j位置字符相等的话，就不用修改，就可以指针前进了。

1，2步，对于即使i和j位置字符相等的情况也是可以进行操作的。
比如A：cd，B:c,当A指针为c，B也为c的时候，A删除c变成d，指针+1.B不变。然后计算A：d和B：c的距离。

以下复制来自https://blog.csdn.net/baodream/article/details/80417695，具体可以查看更详细的分析和代码实现：
用edit[i][j]表示A串和B串的编辑距离。edit[i][j]表示A串从第0个字符开始到第i个字符和B串从第0个字符开始到第j个字符，这两个字串的编辑距离。字符串的下标从1开始。

dis[0][0]表示word1和word2都为空的时候，此时他们的Edit Distance为0。很明显可以得出的，dis[0][j]就是word1为空，word2长度为j的情况，此时他们的Edit Distance为j，也就是从空，添加j个字符转换成word2的最小Edit Distance为j；同理dis[i][0]就是，word1长度为i，word2为空时，word1需要删除i个字符才能转换成空，所以转换成word2的最小Edit Distance为i。

则从上面的分析，不难推导出动态规划方程：

，其中

上式中的min（）函数中的三个部分，对应三种字符操作方式：

edit[i-1][j]+1相当于给word2的最后插入了word1的最后的字符，插入操作使得edit+1，之后计算edit[i-1][j]；

edit[i][j-1]+1相当于将word2的最后字符删除，删除操作edit+1，之后计算edit[i][j-1];

edit[i-1][j-1]+flag相当于通过将word2的最后一个字符替换为word1的最后一个字符。flag标记替换的有效次数。

对于动态规划，还有分治算法，记得本科算法老师天天叨叨叨也没认真听也没认真思考。现在有些接触到的算法用到动态规划，比如路径最优解问题，因为组合的爆炸所以使用了动态规划，其实发现也不是很高大上的问题，我的理解就是动态规划是走一步看一步，有点贪婪的意味，求解当前最优。动态规划和分治算法最大的相似就是都把一个大问题分解成子问题，最大的不同就是子问题之间的独立性。分治算法就像是大陆和港澳，同属一个问题但是在某个性质上是独立的（没有什么别的政治意思就是个类比）。动态规划要子问题之间有依赖。比如路径规划问题，当前所处的位置是与之前的移动路径有关系的。