22.托勒密定理

设圆内接凸四边形的四条边依次为 a,b,c,d （其中a与c是一组对边，b与d是另一组对边）,两条对角线长为e,f,则 ac+bd=ef.

托勒密定理

如图，凸四边形ABCD内接于圆，求证：
AB×CD+BC×AD=AC×BD

托勒密定理证明

证明：
如图，将三角形CAB复制后，绕点A旋转，直到射线AC重合射线AD，旋转到位置以后，按比例缩放整个三角形，到C对应的点重合在D上。该三角形在D处的角恰好等于角ADB，因此，点B对应的旋转点落在直线BD上，设为G点。
（如果不是圆内接四边形，则不能重合。托勒密不等式的证法也可如此。）

三角形DAG和三角形CAB相似,因此有：

即为：

由于上述的相似，同时可以得到：

另一个角度观察

上面的比例，也可以写作

三角形DAC和三角形GAB在A处的角相等，夹A的边对应成比例，因此，这两个三角形相似。因此

改写成乘法，则：

此式与前面的乘法等式相加，有

即为

■

补充说明：

（如非圆内接四边形，则等式右边的两个线段DG与GB无法直接合并，但可用三角形不等式合并DG+GB>BD。由此，产生托勒密不等式。）

完整的托勒密不等式是：

（当且仅当凸四边形为圆内接四边形时，可以取等号）

为什么托勒密定理和直线上四点的欧拉定理看上去如此相似呢？
因为托勒密定理确实可以转到直线上来证明。采用一种独特的方法。

证明过程如下

引理1

引理1

如图，在圆O上取一点X，以X为圆心，作一个圆，与圆O相交，设相交弦为PQ。连接X与圆O上任意两点A，B，这两直线交直线PQ于A'和B'。则A，A'，B'，B这四点共圆。

证明：
连接XP，XQ，在三角形A'PX中，外角B'A'X等于内角P与角PXA'的和。而角P与角Q相等，因此这个和等于角Q与角PXA的和。角Q与角PXA是相邻的两段弧PX和PA所对的圆周角，因此，这个和等于弧APX所对的圆周角，即角B。

所以，角B'A'X等于角B。角B与角AA'B'互补。

故，A'B'BA四点共圆。

引理2：如上情形。设A'ABB'四点共的圆与圆X相交于点C，则XC是四点共的圆的切线。

引理2

证明：

证明引理2

取PQ的中点D'，设XD'交圆O于点D。同上可证明AA'D'D四点共圆。
则XA'×XA=XD'×XD

而XD'×XD = XD'(XD'+D'D)

设圆x的半径为r，上述证明表示，X对四点共圆的幂始终为r的平方。无论A在圆周何处，这四点在变动，圆在变动，但X对这些动圆的，圆幂始终不变。

所以在引理2图中，XC的平方等于圆幂。因此，XC是四点所共圆的切线。(原本第三卷第37命题)

引理3：

证明：
三角形XAB相似于三角形XB'A'则

即

而

即

代入前式，有

下面证明托勒密定理：

证明

以点D为圆心，作一个半径较小的圆，与四边形的外接圆相交。设线段AD,BC,CD与两圆的相交弦交点分别为A',B',C'。

因为四边形是凸四边形，射线DB一定在射线DA和DC之间。所以B'一定在角ADC的内部，故必定在A',C'之间。因为，A'和C'是角ADC边界上的点，假设B'不在A'C'之间，那么B'就会在角ADC的外部。这与前述矛盾。因此，B'在A'和C'之间。

因此，有A'B'+B'C'=A'C'

由引理所计算的公式，有：

代入上述等式，得

等式两边乘以DA×DB×DC，除以r，得到

即为

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