后缀自动机 SAM

定义

• SAM 是 DFA 确定性有限状态自动机，是一张 DAG 有向无环图。结点为 状态 ，边被为状态间的 转移。
• 图存在一个虚拟结点 $S$ ，称作 初始状态 ，其它各结点均可从 $S$ 出发到达。
• 每个 转移 都标有一些字母。从一个结点出发的所有转移均 不同 。从一个状态出发的转移标有的字母不同。
• 存在一个或多个 终止状态 。如果从初始状态 $S$ 出发，最终转移到了一个终止状态，则路径上的所有转移连接起来一定是字符串 $s$ 的一个后缀。反之 $s$ 的每数个后缀均可用一条从 $S$ 到某个终止状态的路径构成。
• SAM 包含关于字符串 $s$ 的所有子串的信息。如果从初始状态 $S$ 出发，最终转移到了一个状态，路上的所有转移连接起来都会形成 $s$ 的一个 子串 。反之每个 $s$ 的子串对应从 $S$ 开始的某条路径。
• 在所有满足上述条件的自动机中，SAM 的结点数是最少的。

SAM 可以理解为给定字符串的 所有子串 的压缩形式。值得一提的是，一个 SAM 最多有 $2n-1$ 个结点 $3n-4$ 条转移边。所以它的构造是线性的。

状态

对于字符串 $s$ 的任意非空子串 $t$ ，记 $endpos(t)$ 为在字符串 $s$ 中 $t$ 的所有结束位置的集合。如 aabbabd 中 ab 的$endpos$ 集合为 $\{3,6\}$。

将 $endpos$ 相等的子串归于同一个 $endpos$ 等价类。而 $endpos$ 等价类就是 SAM 的状态。对于初始状态 $S$，可以看作只有一个空串的 $endpos$ 等价类。

我们可以得到一些结论。对于字符串 $s$ 两个非空子串 $s_1,s_2$，假设 $|s_1|<|s_2|$。约定 $longest(x)$ 为状态 $x$ 中最长的子串。

• 如果 $s_1$ 与 $s_2$ 同属于一个状态，当且仅当 $s_1$ 在 $s$ 中的每次出现，都是以 $s_2$ 后缀的形式存在的。

• $s_1$ 为 $s_2$ 的后缀当且仅当 $endpos(s_1)\supseteq endpos(s_2)$，$s_1$ 不为 $s_2$ 的后缀当且仅当 $\text{endpos}(s_1)\cap endpos(s_2)=\varnothing$。

• 将 $endpos(x)$ 中的子串按长度从大到小排序，所有的子串为的 $longest(x)$ 长度连续的后缀。

后缀链接

将 $\text{endpos}(x)$ 中的子串按长度从大到小排序，所有子串为的 $longest(x)$ 长度连续的后缀 。

但是，长度连续的后缀可能会断开。

在 aabbab 中， aabbab、abbab、bbab、bab 在一个状态中（状态 $7$）。下一个理应为 ab。但是 ab 在另一个状态$\text{endpos}=3,6$ 中（状态 $8$），对于 ab 的下一个后缀 b，它又在一个新的类 $\text{endpos}=\{3,4,6\}$ 中（状态 $5$）。所以有 $7\to 8$ 和 $8\to 5$ 的有向绿边，这就是后缀链接。

具体的，一个状态 $x$ 的后缀链接 $link(x)$ 连接到：$longest(x)$ 最长的后缀所对应的状态，满足该后缀为另一个状态中的最长子串。

构造

在构造中维护以下信息：

• $len(x)$ 为 $\text{longest}(x)$ 的长度。
• $link(x)$ 为 $x$ 的后缀链接。
• $nxt(x,c)$ 为 $x$ 的转移，其中 $c$ 为字符。

const int N = 2e6 + 5; // 至少开数据范围的两倍空间
struct state {
  int len, link;
  int nxt[26]; // 26 为字符集的大小，如果字符集较大可以用 map
} st[N];
int sz, lst;

后缀自动机的构造是一个线性的在线算法。

初始，SAM 只有一个状态 $S$，它的编号为 $0$。$len(S)=0,link(x)=-1$。

现在向 SAM 逐个加入字符，假设现在加入的字符为 $c$，之前加入的字符构成的字符串的状态为 $lst$。

之前加入的字符所构成的字符串 $s$ 一定是 $longest(lst)$，所以加入 $c$ 生产的字符串 $s+c$ 会有一个新的状态 $cur$ 且 $len(cur)=len(lst)+1$。

• 让 $p$ 从从状态 $lst$ 开始，通过后缀链接往 $S$ 的方向走，也可以说成沿着 parent tree 往根节点走。对于路径上的状态 $p$，如果没有 $nxt(p,c)$ 的转移，那么 $nxt(p,c)=cur$。

• 否则将 $link(x)$ 赋值为 $0$ 并退出。

• 如果没有找到 $p$，那么到达了虚拟状态 $S=-1$，将 $link(cur)$ 赋值为 $0$ 并退出。

• 否则，找到了一个状态 $p$，这个状态可以通过 $c$ 转移到状态 $q$，那么有两个情况。

• 如果 $len(p)+1=len(q)$，这意味着 $longest(p)+c=longest(q)$。只要将 $link(cur)$ 赋值为 $q$ 并退出。

• 否则略有复杂，新建一个克隆状态 $clone$，复制 $q$ 的后缀链接和转移，并将 $len(clone)$ 赋值为 $len(p)+1$。复制之后，将 $link(cur)$ 和 $link(q)$ 赋值为 $clone$。然后通过后缀链接从 $p$ 往回走，对于路径上的状态 $p$，如果$nxt(p,c)=q$，那么将 $nxt(p,c)$ 重新定向到 $clone$。

最后，将 $lst$ 赋值为 $cur$。

void sam_extend(int c) {
  	int cur = ++sz;
  	st[cur].len = st[lst].len + 1;
  	int p = lst;
  	while (p != -1 && !st[p].nxt[c]) {
  	  	st[p].nxt[c] = cur;
  	  	p = st[p].link;
 	}
  	if (p == -1) st[cur].link = 0;
  	else {
    	int q = st[p].nxt[c];
    	if (st[p].len + 1 == st[q].len) st[cur].link = q;
    	else {
      		int clone = ++sz;
      		st[clone].len = st[p].len + 1;
      		for (int i = 0; i < 26; i++) st[clone].nxt[i] = st[q].nxt[i];
      		st[clone].link = st[q].link;
      		while (p != -1 && st[p].nxt[c] == q) {
        		st[p].nxt[c] = clone;
        		p = st[p].link;
      		}
      		st[q].link = st[cur].link = clone;
    	}
  	}
  	lst = cur;
}
int main() {
    st[0].link = -1;
    for (int i = 0; i < n; i++) sam_extend(s[i] - 'a');
    return 0;
}

正确性证明

假设之前的字符串 $s$ 的构造是正确的。

通过后缀链接进行遍历，路径上的 $p$ 一定是 $s$ 不同状态的最长后缀所属的状态。如果没有转移，意味着在 SAM 中还没出现，所以可以转移到 $cur$，否则已经出现了，为了不产生重复所以跳出。

当到达了虚拟状态 $S=-1$ 时，这意味着对 $s$ 的所有后缀添加了到 $c$ 的转移了，所以 $link(cur)$ 赋值为 $S$，代表断开的是一个空串。

否则找到了现有的转移 $p\to q$。这意味着 $s+c$ 与 $q$ 的 最长公共后缀 $x$ 已经在 SAM 中出现过了，不能添加新的转移了。而 $link(cur)$ 应该连向 $x$ 所在的状态。如果 $x$ 为 $longest(q)$，那么有 $len(p)+1=len(q)$，所以将 $link(cur)$ 赋值为 $q$。

否则，在 $q$ 中还有更长的子串即为 $len(p)+1<len(q)$，所以需要把 $q$ 拆成两个子状态，第一个子状态中最长的子串为 $x$ 它的长度为 $len(p)+1$，第二个还是 $q$，第一个子状态即为 $clone$ 克隆状态。为了不改变到 $q$ 的路径，所以将连向 $q$ 的转移改接到 $clone$ 上，并将 $link(q)$ 赋值为 $clone$。那么 $link(cur)$ 也是 $clone$ 了。

后缀链接树

SAM 中后缀链接的反向边构成了一棵以 $S$ 为根的树。这棵树有一些性质

• 如果状态 $x$ 是状态 $y$ 的祖先，那么 $x$ 中字符串为 $y$ 中字符串的后缀。
• $S_{1\sim p}$ 和 $S_{1\sim q}$ 的最长公共后缀为 $longest(LCA(p,q))$。
• 状态 $x$ 中子串的个数为 $len(x)-len(fa)$。
• 状态 $x$ 中每个子串在原串出现的次数为以 $x$ 的子树中非克隆状态的个数。