2020牛客暑期多校训练营Grid Coloring(构造)

Grid Coloring

题目描述

输入描述:

输出描述:

示例1

输入

2
2 3
2 5

输出

1 2
3 1
3 2
1 3
2 1
2 3
-1

题目大意

给出一个$n\ast n$的正方形网格，有$k$种颜色。现要求你将网格的每一条边染色，使得满足以下3个条件。
$limit1$所有的颜色的边的数量都是相等的
$limit2$没有一个环是只有一种颜色的。
$limit3$没有一条竖直或水平的线是只有一种颜色的。

分析

无解

首先当$n=1$时，竖直和水平线总是只有1种颜色的，违反$limit3$。当$k=1$时，只能染一种颜色，违反$limit2,3$。当 总边数$modk\ne 0$时显然无法满足$limit1$，因此也是无解的。

构造

这里先给出构造方法，再证明。

如图，按照图中$1,2,\dots$的顺序进行染色，依次染$1,2,3,\dots ,k,1,2,3,\dots$。

证明：
对于$limit1$，显然顺序染色一定保证每个颜色相同次数。
对于$limit2$，如果环是$1\ast 1$的，那么纵向的边是编号相邻的，颜色必不同。
         \qquad\qquad\,\,\,\,\,\,\,\, 如果环是$A\ast B$的，那么大于1的那条边有相邻的横边或者有相邻的两条纵边，颜色也不会相同。(纵边只要用n,i,j表示出来modk就可以看出来了，后文会加以证明)
对于$limit3$，从上一条可以得出，横的边一定是不同色的，满足，接下来证明纵边。

经过推导发现，纵边用$n$表示后，相邻的两边的差是$(2n-1)$，因此，我们只要证明$gcd(2n-1,k)=1$就可以了。由于总边数是$2n(n+1)$，所以$k|2n(n+1)$。因此可以证明$\gcd (2n-1,2n(n+1))=1$

$\gcd (2n(n+1),2n+1)$
$=\gcd (2n+1,2n(n+1)-n(2n+1))$
$=\gcd (2n+1,n)$
$=\gcd (n,2n+1-n)$
$=\gcd (n,n+1)$
(用辗转相除法得)
因此相邻的纵向的边是不同色的。
所以上述策略是可行的。

代码

#include
#define ll long long
using namespace std;
const int MAXN=210;
int a[MAXN][MAXN],b[MAXN][MAXN];
int main()
{
	int t,n,k;
	scanf("%d",&t);
	while(t--){
		scanf("%d%d",&n,&k);
		if(n==1||k==1||2*n*(n+1)%k){puts("-1");continue;}
		int cnt=0;//第cnt条边的色是(cnt-1)%k+1
		for(int i=1;i<=n;i++){
			for(int j=1;j<=n;j++){
				cnt=cnt%k+1;
				a[i][j]=cnt;
			}
			for(int j=1;j<=n+1;j++){
				cnt=cnt%k+1;
				b[j][i]=cnt;
			}
		}
		for(int i=1;i<=n;i++){
			cnt=cnt%k+1;
			a[n+1][i]=cnt;
		}
		for(int i=1;i<=n+1;i++){
			for(int j=1;j<=n;j++){
				printf("%d ",a[i][j]);
			}puts("");
		}
		for(int i=1;i<=n+1;i++){
			for(int j=1;j<=n;j++){
				printf("%d ",b[i][j]);
			}puts("");
		}
	}
}

END

难的构造题，灰常难的构造题。