Leetcode174. 地下城游戏——动态规划的无后效性

引入

今天的每日一题174. 地下城游戏一眼看上去就是使用dp，并且是非常标准的DP场景。

我一开始是这样做的：

public class Solution {
    public int calculateMinimumHP(int[][] dungeon) {
        int M=dungeon.length;
        int N=dungeon[0].length;

        int[][] dp=new int[M+1][N+1];
        //初始值dp[0][0]=0;
        for (int[] d:dp){
            Arrays.fill(d,Integer.MIN_VALUE);
        }
        dp[0][1]=1;
        dp[1][0]=1;
        //记录整个过程的最小值
        int min=Integer.MAX_VALUE;
        for (int i=0;i<M;i++){
            for (int j=0;j<N;j++){
                dp[i+1][j+1]=Math.max(dp[i+1][j],dp[i][j+1])+dungeon[i][j];
                if (dp[i+1][j+1]<min) min=dp[i+1][j+1];
            }
        }
        return -min+1;
    }
}

然而这样做是不对的，如果按照从左上往右下的顺序进行动态规划，对于每一条路径，我们需要同时记录两个值。第一个是「 从出发点到当前点的路径和 dp」，第二个是「 从出发点到当前点所需的最小初始值 min」，准确的来说是从出发点到当前点的所有可能的通路上的最小值。

而这两个值的重要程度相同，因为当前路径和的最大值，并不一定产生最小的那个生命初始值。来看下面这个例子：

路径和在0/-2/3/0上取到最大，值为1；
但是初始生命值在0/-1/0/0上取到最小，值为2。

所以，这个时候很难去取舍到底选择哪条路径，因为两个信息是同等重要的。

如果问直接选择最小生命值的那条线不就行了？这是不对的。我们来看整体，这种贪心方法即0/-1/-3/-3/-2，最小生命值是10；而考虑全局，最小生命值只需要是3，也就是0/-2/3/0/-2的这条线。

所以，在两个信息同等重要的情况下，是不满足动态规划的无后效性的。

因为有两个重要程度相同的参数同时影响后续的决策。也就是说，这样的动态规划是不满足「无后效性」的。

本题解法

于是我们考虑从右下往左上进行动态规划，反过来考虑就能解决上面这个难题。

先贴代码再解释：

public class Solution {
    public int calculateMinimumHP(int[][] dungeon) {
        int M = dungeon.length;
        int N = dungeon[0].length;

        int[][] dp = new int[M + 1][N + 1];
        for (int[] d:dp){
            Arrays.fill(d,Integer.MAX_VALUE);
        }
        dp[M][N-1]=1;
        dp[M-1][N]=1;//初始生命值1

        //倒过来考虑（从后往前）
        for (int i=M-1;i>=0;i--){
            for (int j=N-1;j>=0;j--){
                dp[i][j]=Math.min(dp[i+1][j],dp[i][j+1])-dungeon[i][j];
                //血量小于0，说明（从前往后）走不会出现负数，可以重置为1
                if (dp[i][j]<=0) dp[i][j]=1;
            }
        }
        return dp[0][0];
    }
}

从后往前，也就是从右下到左上不用再去考虑选择哪条最大和的路径了，而只需要去关注哪条路径下需要最小生命值。为什么倒过来会产生这样的效果呢？

先来看看dp的状态转移方程：
dp[i][j]=Math.min(dp[i+1][j],dp[i][j+1])-dungeon[i][j];
这个很好理解，就是每一次找两条路径下的最小的生命值，如果最小生命值是负数，那么就赋值为1，这个原因也很好理解，我们是从后往前推的，那么从前往后推，从这格开始，向后的路都会是正的血量，所以之前算的最小生命值就不成立。

倒过来考虑后，会发现去考虑哪条路径是最大和的这个信息消失了，而保留了最小生命值这个信息。因为从后往前推，dp[i][j]表示从(i,j)出发，一定是能够到达终点的（因为我们本来就是从终点出发的）。最关键的一点，从前往后和从后往前上，找最低生命值的方式是不同的：

1. 从前往后推，找最低生命值需要去考虑在合适的路径上找到最小生命值，但是不能以最小生命值来贪心。如果以最小生命值来贪心，我们贪心的方式是找每一格上最小的值。
2. 从后往前推，找最低生命值的贪心策略是找每一格上最大的值（题解中取了负数，所以找的是最小值）。

注：这里的贪心并不是说的贪心算法，而是说的动态规划时的思考原则：在每一格做出的贪心选择，也就是状态转移的方式。

再来看这个图捋一遍：

1. 从前往后的dp策略：
   我们会将0/-1/-3/-3/-2作为最终答案的路径，这样保证了动态规划中贪心的策略是找到最小的生命值。但是这个生命值虽然是最小的，但不是最合适的最小生命值。
   我们要找的最小生命值，应该是所有路径上的最小生命值。
2. 从后往前的dp策略：
   我们会讲0/-2/3/0/-2最为最终答案的路径，这样我们找的是使得生命值尽可能大的格子。比如一开始在-2，下一步应该是去0，而不是去-3，因为选择0，我们只需要初始生命值是3，就可以从0到-2；而选择-3，初始生命值则需要6。

本题感悟

遇到多信息的动态规划题目的时候，先去判断这些信息是否有优先级：具体判断条件就是将每一个信息作为最优先的条件来找反例。

在信息同等重要的前提下，考虑从后往前的动态规划。