一阶IIR数字滤波器的设计

最简单的低通滤波器传递函数入手

万事开头难，所以我们先研究这个最简单的滤波器传递函数：
$$H(s)=\frac{1}{1+s}$$

这是一个最简单的1阶低通滤波器的传递函数,当s=0时, |H(s)|=1;当s=$\infty$，|H(s)|=0。首先我们需要确定这个滤波器的截止频率，分析连续时间域的傅氏变换形式：$$H(j\Omega )=\frac{1}{1+j\Omega }$$ 求|H(j$\Omega$)|=1/$\sqrt{2}$等价于求$\Omega =1$，$\Omega$=2$\pi$f，所以此滤波器的-3db截止频率是f=1/2$\pi$=0.159 Hz。这个恐怕是没办法满足大部分要求的。

对原始滤波器的改造

$$H(s)=\frac{{\Omega }_c}{{\Omega }_c+s}$$
这里${\Omega }_c$=2$\pi$$f_c$, 通过这个函数可以轻松的搞定截止频率的问题，看上去我们的这个巴特沃兹一阶滤波器好像可以用了。

低通变高通

用s= $\frac{1}{s}$ 带入上面的公式，就会得到高通滤波器了。
$$H(s)=\frac{{\Omega }_{c}s}{{\Omega }_{c}s+1}$$
可以直观的观察当s=0时, |H(s)|=0;当s=$\infty$，|H(s)|=1。那此时的截止频率该怎么算，还是${\Omega }_c$=2$\pi$$f_c$吗？答案当然是否定的了，我们定义高通截止频率${\Omega }_h$=$\frac{1}{{\Omega }_c}$，显然，之前在 设计低通的时候确定的截止频率要取倒数了，或者干脆放弃${\Omega }_c$，$\frac{1}{{\Omega }_h}$=2$\pi$$f_h$，我们得到$f_h$=$\frac{1}{2\pi {\Omega }_h}$。
当然，我们可以用另一个直观的表达来重写这个传递函数
$$H(s)=\frac{s}{s+{\Omega }_h}$$
可以看出${\Omega }_h$就是截止频率了。

低通变带通

低通变带通要比之前变高通复杂了，替换公式
$$s=\frac{s^2+{\Omega }_m^2}{BWs}$$
代入最原始的低通滤波器，我们会得到如下传递函数
$$H(s)=\frac{BWs}{s^2+{\Omega }_m^2+BWs}$$
数学推算，留给读者自己吧，我也没有推出来，以后理清了再补上。

高通变带阻

高通变带阻，一样的替换公式，
$$s=\frac{s^2+{\Omega }_c^2}{BWs}$$
带入如下初始的高通滤波器
$$H(s)=\frac{s}{s+1}$$
得到如下传递函数
$$H(s)=\frac{s^2+{\Omega }_m^2}{s^2+{\Omega }_m^2+BWs}$$

从模拟到数字，采用双线性变换，简单方便

假设我们需要为外放输出的数字音频作一个高通滤波器，截止频率在400Hz，采样频率48000Hz，第一章我们已经有了一个原型：$$H(s)=\frac{s}{s+1}$$
数字滤波器的截止频率计算公式：$${\omega }_c=\frac{2\pi f}{f_s}$$

数字和模拟频率的转换关系：$${\Omega }_c=\frac{{\omega }_c}{T}$$
双线性变换一般要求对频率作预畸变处理，采用如下公式：$${\Omega }_c=\frac{2}{T}\tan \frac{{\omega }_c}{2}$$
以400Hz截止频率和48000Hz采样率来计算：$${\omega }_c=\frac{2\pi f}{f_s}=\frac{\pi }{60}\approx 0.05236$$
直接变换
$${\Omega }_c=\frac{{\omega }_c}{T}\approx \frac{0.05236}{T}$$
预压缩变换
$${\Omega }_c=\frac{2}{T}\tan \frac{{\omega }_c}{2}\approx \frac{0.05236}{T}$$
居然两个结果算得一样，哈哈。做如下代换$s=\frac{s}{{\Omega }_c}$我们得到如下传递函数$$H(s)=\frac{s}{{\Omega }_c+s}=\frac{sT}{0.05236+sT}$$
最后用双线性变换公式：$$s=\frac{2}{T}\frac{z-1}{z+1}=\frac{2}{T}\frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}$$把s域映射到z域：
$$H_1(z)=\frac{1-z^{-1}}{1.02618-0.97371z^{-1}}$$

频域分析

利用Octave开源的工具，几乎可以替换Matlab，$H(z)$绘出频域响应曲线

至此，我们一阶的高通滤波器的系数已经得出。

结论

我们用最简单的模拟低通滤波器推导出一个简单的数字高通滤波器，基本满足假设的使用要求。本文主要参考了《Real-Time Digital Signal Processing Fundamentals, Implementations and Applications》，其他内容如有纰漏欢迎回复指正，谢谢。