树状数组详解

本文参考链接https://www.cnblogs.com/hsd-/p/6139376.html

1.  数组->树状数组
     叶子节点代表数组A[],A[1]~A[8].

2.将数组变形，定义每一列的顶端结点为数组C[]

C[i]代表子树的叶子节点的权值之和。例如

C[1]=A[1];

C[2]=A[1]+A[2];

C[3]=A[3];

C[4]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4];

C[5]=A[5];

C[6]=A[5]+A[6];

C[7]=A[7];

C[8]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]+A[5]+A[6]+A[7]+A[8];

3.将数组C[]的结点序号转化为二进制

1=(001)      C[1]=A[1];

2=(010)      C[2]=A[1]+A[2];

3=(011)      C[3]=A[3];

4=(100)      C[4]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4];

5=(101)      C[5]=A[5];

6=(110)      C[6]=A[5]+A[6];

7=(111)      C[7]=A[7];

8=(1000)   C[8]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]+A[5]+A[6]+A[7]+A[8];

找规律可以得到这个公式

C[i]=A[i-2^k+1]+A[i-2^k+2]+......A[i];（k为i的二进制中从最低位到高位连续零的长度）例如i=8时，k=3;

4.函数lowbit(x)： lowbit(x)=2^k

int lowbit(int t) 
{ 
     return t&(-t); 
 } 

//C[i]=A[i-2^k+1]+A[i-2^k+2]+......A[i];

//C[i]=A[i-lowbit(i)+1]+A[i-lowbit(i)+2]+......A[i];

5.区间查询：利用C[i]数组，求A数组中前i项的和

int getsum(int x)
{
      int ans=0;
      for(int i=x;i>0;i-=lowbit(i))
      ans+=C[i];
      return ans；
}

eg：

i=7;

sum[7]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]+A[5]+A[6]+A[7] ;  //前i项和

C[4]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4];  

C[6]=A[5]+A[6]; 

C[7]=A[7];

可以推出:   sum[7]=C[4]+C[6]+C[7];

序号写为二进制: sum[(111)]=C[(100)]+C[(110)]+C[(111)];

代码过程

  7(111)                                             ans+=C[7]

lowbit(7)=001  7-lowbit(7)=6(110)    ans+=C[6]

lowbit(6)=010  6-lowbit(6)=4(100)    ans+=C[4]

lowbit(4)=100  4-lowbit(4)=0(000)

6.单点更新：修改数组A[]的值时，对应的C[]数组也需要更新（更新过程是查询过程的逆过程）

void update(int x,int y) 
{ 
    for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i)) 
    C[i]+=y; 
}

如图，更新A[1]时，树状数组由叶子结点向上更新。

更新A[1]时  需要向上更新C[1] ,C[2],C[4],C[8]

                     C[1],      C[2],      C[4],       C[8]

写为二进制  C[(001)],C[(010)],C[(100)],C[(1000)]

                                    1(001)          C[1]+=A[1]

lowbit(1)=001 1+lowbit(1)=2(010)     C[2]+=A[1]

lowbit(2)=010 2+lowbit(2)=4(100)     C[4]+=A[1]

lowbit(4)=100 4+lowbit(4)=8(1000)   C[8]+=A[1]

例题：ccf201709-5 http://blog.csdn.net/nininicrystal/article/details/78657052