数项级数——（三）一般项级数

一.交错级数

若级数的各项符号正负相间即则称（1）为交错级数。

定理1（莱布尼茨判别法）

若交错级数（1）满足下述两个条件：

（i）数列单调递减；

（ii）

则级数（1）收敛。

推论：若级数（1）满足莱布尼茨判别法的条件，则收敛级数（1）的余项估计式为

二.绝对收敛级数及其性质

若级数各项绝对值所组成的级数收敛，则称级数（2）为绝对收敛级数；若级数（2）收敛，而级数（3）不收敛，则称级数（2）为条件收敛级数。

定理2

绝对收敛级数一定收敛。若收敛，则收敛。

绝对收敛级数的两个重要性质

1.级数的重排

我们把正整数列到它自身的一 一映射称为正整数列的重排，相应地对于数列按映射所得到的数列称为原数列的重排。相应于此，我们也称级数是级数（2）的重排。为叙述上的方便，记即把级数写作

定理3

设级数（2）绝对收敛，且其和等于S，则任意重排后得到的级数（4）也绝对收敛，且有相同的和数。

注意：由条件收敛级数重排后所得到的新级数，即使收敛，也不一定收敛于原来的和数，而且条件收敛级数适当重排后，可得到发散级数，或收敛于任何事先指定的数。

2.级数的乘积

设有收敛级数把级数（5）与（6）中每一项所有可能的乘积列成下表

这些乘积可以按各种方法排成不同的级数，常用的有按正方形顺序或对角线顺序依次相加。

定理4（柯西定理）

若级数（5）、（6）都绝对收敛，则对（7）中所有乘积按任意顺序排列所得到的级数也绝对收敛，且其和等于AB.

三.阿贝尔判别法和狄利克雷判别法

引理（分部求和公式，也称阿贝尔变换）

设为两组实数，若令则有如下分部求和公式成立：

推论（阿贝尔引理）若

（i）是单调数列；

（ii）对任一正整数有

则记有

现在讨论级数收敛性的判别法。

定理5（阿贝尔判别法）

若为单调有界数列，且级数收敛，则级数（8）收敛。

定理6（狄利克雷判别法）

若数列单调递减，且又级数的部分和数列有界，则级数（8）收敛。