拓展欧几里得算法即代码实现

拓展欧几里得算法以及从C++代码实现

欧几里得算法求最大公因数

应用：求最大公因数

欧几里得算法可以求最大公因数，简单的说就是，就是将一个数对另一个数取mod，然后将除数在对余数mod，直到余数为0。

c++代码实现

#include 
using namespace std;
int gcd(int p ,int q){
	int r = 0;
	do{
		int r = p%q;
		p = q;
		q = r;
	}
	while(q!=0);
		return p;
}
int main(){
	int a,b;
	cin>>a>>b;
	int m = gcd(a,b);
	cout<<a<<"和"<<b<<"的最大公因数是："<<m;
	return 0;
}

拓展欧几里得算法

应用：求乘法逆元

乘法逆元是模运算中的一个概念，我们通常说 A 是 B 模 C 的逆元，实际上是指 A * B = 1 mod C，也就是说 A 与 B 的乘积模 C 的余数为 1。可表示为 A = B^(-1) mod C。

打个比方，7 模 11 的逆元，即：7^(-1) mod 11 = 8，这是因为 7 × 8 = 5 × 11 + 1，所以说 7 模 11 的逆元是 8。

引理：存在 x , y 使得 gcd(a,b)=ax+by

证明：

当 b=0 时，gcd(a,b)=a，此时 x=1 , y=0

当 b!=0 时，
　 设 ax1+by1=gcd(a,b)=gcd(b,a%b)=bx2+(a%b)y2
　又因 a%b=a-a/bb
　则 ax1+by1=bx2+(a-a/bb)y2
　 　ax1+by1=bx2+ay2-a/bby2
　 　ax1+by1=ay2+bx2-ba/by2
　 　ax1+by1=ay2+b(x2-a/by2)

解得 x1=y2 , y1=x2-a/b*y2

因为当 b=0 时存在 x , y 为最后一组解

而每一组的解可根据后一组得到

所以第一组的解 x , y 必然存在

得证

根据上面的证明，在实现的时候采用递归做法

先递归进入下一层，等到到达最后一层即 b=0 时就返回x=1 , y=0

再根据 x1=y2 , y1=x2-a/b*y2 ( x2 与 y2 为下一层的 x 与 y ) 得到当层的解

不断算出当层的解并返回，最终返回至第一层，得到原解

使用扩展欧几里德算法的过程如下：

求exgcd(e, m)—>利用欧几里得算法不断递归直到x=1,y=0—>反向递归求出第一层的x和y，x即为e模m的逆元。

c++代码实现

int kzojld(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(b==0)
    {
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    int r=kzojld(b,a%b,x,y);
    int t=x;
    x=y;
    y=t-a/b*y;
    return r;
}