傅里叶变换及其应用笔记(part 1)

斯坦福EE261

录)

预备内容：

由Fourier级数过渡到Fourier分析(源于周期性，空间周期性和时间周期性)
傅里叶变换作为Fourier级数的极限情况，用来分析非周期现象，有些概念两者通用，有些不同
分析：分解一个函数（信号）为一些简单的部分
合成：吧基本部分重组成信号本身
分析和合成是由线性运算完成的，就是积分和序列
Fourier分析是线性系统的一部分
和群论有关的研究对称性

周期性：三角函数表示复杂函数

并非所有现象都有周期性，即使为周期现象，最终也会消失，然而cos，sin是无限的，但在一段时间内，即使没有周期性也可以用周期延拓使其成为周期现象

用来表示复杂信号（函数），使用cos和sin（通过改变相位和频率相加）周期为1
$$\sum _{k=1}^N{A}_k\sin (s\pi kt+{\phi }_k)$$
可以看成音频的叠加（音乐音符的组合）可以产生声音
上式的另一个形式为
$$\sum _{k=1}^N{a}_k\sin 2\pi kt+b_k\cos 2\pi kt$$
再加一个常数
$$\frac{a_0}{2}+\sum _{k=1}^N{a}_k\sin 2\pi kt+b_k\cos 2\pi kt$$
由$e^{2\pi ikt}=\cos 2\pi kt+i\sin 2\pi kt$得
$$\begin{gathered} \cos 2\pi kt=\frac{e^{2\pi ikt}+e^{-2\pi ikt}}{2} \\ \sin 2\pi kt=\frac{e^{2\pi ikt}-e^{-2\pi ikt}}{2i} \end{gathered}$$
得，和式可表示为($c_k$为复数，满足对称性$c_{-k}=\overline{c_k}$，因为结果为实数)
$$\sum _{k=-N}^N{c}_k{e}^{2\pi ikt}$$
对于一个周期性为1的函数$f(t)$,它能表示成
$$f(t)=\sum _{k=-n}^n{c}_k{e}^{2\pi ikt}$$
先不管为什么，我们假设等式成立，那么怎么求$c_k$，分离系数

$$c_m{e}^{2\pi imt}=f(t)-\sum _{k̸=m}{e}^{2\pi ikt}$$
两边乘$e^{-2\pi imt}$,的

$$c_m=f(t)e^{-2\pi imt}-\sum _{k̸=m}{e}^{2\pi ikt}{e}^{-2\pi imt}$$
做积分(其实就是内积)
$$c_m={\int }_0^1{c}_{m}dt={\int }_0^{1}f(t)e^{-2\pi imt}dt+0$$

将一般周期函数表为简单周期函数和

考虑前面剩下的问题：为什么能这么表示，什么时候能表示
记$\hat{f}(k)={\int }_0^{1}f(t)e^{-2\pi ikt}dt$表示$f(t)$的第$k$个系数

上面阶梯函数是不能表示成有限和的，对于

就算上面这样的连续函数也是不行的，因为无限可微的函数的有限组合也是无限可微的，所以表示成有限和的必要条件是无限可微，对于不是很光滑的地方，我们就需要更高频的成分去弥补它
所以为了表示更一般的周期现象，必须考虑无限和
$$\sum _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{2\pi ikt}$$
还要确定它是否收敛，需要一些消去技巧(见傅里叶分析导论)
连续的情况它收敛于$f(t)$，为逐点收敛
如果$f(t)$可微，那么级数一致收敛到$f(t)$
对于不连续的情况，如果$t_0$为跳跃不连续点，那么它收敛于$\frac{1}{2}(f(t_0^{+})+f(t_0^{-}))$
当满足一些情况的时候，级数均方收敛
只要有一点不光滑，就会产生无穷的傅里叶级数
补充，内积定义：见分析学，可以定义内积为如下
$⟨f,g⟩={\int }_0^{1}f(t)\overline{g(t)}dt$
范数为$⟨f,f⟩=\Vert f{\Vert }^2={\int }_0^{1}f(t)\overline{f(t)}dt={\int }_0^1|f(t){|}^{2}dt$
可以证明$e^{2\pi int},n\in \mathbb{Z}$是$L^2(0,1)$的正交基，并且是完备的
傅里叶级数可以看成分到正交基上分量的和

瑞利等式（Rayleigh equality）：
$${\int }_0^1|f{|}^{2}dt=\sum _{-\infty }^{\infty }|\hat{f}(k){|}^2$$
可以看成能量部分和为总和

应用(热方程)

heat flow（热流）物理导致傅里叶分析的快速发展
有一个空间区域，有初始温度分布$f(x)$，温度如何随时间和位置变化
关注一个热环（周长为1），$u(x,t)$为我们所要找的

温度为空间的周期函数，$u(x+1,t)=u(x,t)$，对$x$进行展开
$$u(x,t)=\sum _{-\infty }^{\infty }{c}_k{e}^{2\pi ikx}=\sum _{-\infty }^{\infty }{c}_k(t)e^{2\pi ikx}$$

Heat equation (热方程，下标表示偏导，这是偏微分方程)：
温度随时间变化跟周围温度差大小成正比，原理见另一篇博客
多变量微积分中散度定理关于扩散方程的推导
一维：$u_t=a{u}_{xx}$($a$和物理特性有关），为了方便这里令$a=\frac{1}{2}$
$u_t=\frac{1}{2}{u}_{xx}$
$$u_t=\sum _{-\infty }^{\infty }{c}_k^{\prime }(t)e^{2\pi ikx}$$
$$u_{xx}=\sum _{-\infty }^{\infty }{c}_k(t)(2\pi ik{)}^2{e}^{2\pi ikx}$$
对应项相等，得到$c_k^{\prime }(t)=-\frac{1}{2}{c}_k(t)(4{\pi }^2{k}^2)$
即
$$c_k^{\prime }(t)=-2{\pi }^2{k}^2{c}_k(t)$$
这是一个ODE解为
$$c_k(t)=c_k(0)e^{-2{\pi }^2{k}^{2}t}$$

由$$u(x,t)=\sum _{-\infty }^{\infty }{c}_k(t)e^{2\pi ikx}$$
令$t=0$,
$$u(x,0)=\sum _{-\infty }^{\infty }{c}_k(0)e^{2\pi ikx}$$
也就是
$$f(x)=u(x,0)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{c}_k(0)e^{2\pi ikx}$$
故$$c_k(0)=\int f(x)e^{-2\pi ikx}dx=\hat{f}(k)$$
代入上面的，得到
$$u(x,t)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\hat{f}(k)e^{-2{\pi }^2{k}^{2}t}{e}^{2\pi ikx}$$

以另一种方式写
$$\hat{f}(k)={\int }_0^1{e}^{-2\pi iky}f(y)dy$$
$$\begin{array}{rl}u(x,t)& =\sum _{k=-\infty }^{\infty }{c}_k(t)e^{2\pi ikx}\\ & =\sum _{k=-\infty }^{\infty }{c}_k(0)e^{-2{\pi }^2{k}^{2}t}{e}^{2\pi ikx}\\ & =\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\int }_0^{1}f(y)e^{-2\pi iky}dy{e}^{-2{\pi }^2{k}^{2}t}{e}^{2\pi ikx}\\ & ={\int }_0^1\left(\sum _{k=-\infty }^{\infty }{e}^{-2\pi iky}{e}^{-2{\pi }^2{k}^{2}t}{e}^{2\pi ikx}\right)f(y)dy\\ & ={\int }_0^1\left(e^{2\pi ik(x-y)}{e}^{-2{\pi }^2{k}^{2}t}\right)f(y)dy\end{array}$$
记
$$g(x,t)=e^{2\pi ikx}{e}^{-2{\pi }^2{k}^{2}t}$$
则
$$u(x,t)={\int }_0^{1}g(x-y,t)f(y)dy$$
这表达了$u(xmt)$是$f(x)$与热核函数$g(x,t)$的卷积
g的不同叫法：热核函数也称为格林函数
（泊松核和狄利克雷问题也会类似）

傅里叶变换（周期现象到非周期现象）

将非周期函数看做周期无限函数。傅里叶 变换是一种一般（也就是另一种极限的情况，即周期无限）情况，即傅里叶级数的极限形式
对于周期T的函数（再让$T\to \infty$）
傅里叶基为$e^{2\pi ik(t/T)}$，傅里叶级数为
$$\begin{gathered} f(t)=\sum c_k{e}^{2\pi i(k/T)t} \\ {c}_k=\frac{1}{T}{\int }_0^1{e}^{-2\pi i(k/T)t}f(t)dt \end{gathered}$$
(缩放即可，然而为什么基完备这是另一个问题)
可写成
$$c_k=\frac{1}{T}{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{e}^{-2\pi i(k/T)t}f(t)dt$$

频谱Picture of frequency( spectrum)

它是对称的因为$c$对称，周期为$T$，则间隔为$\frac{1}{T}$
当$T\to \infty$的时候，频谱变得连续。
不能直接让$T\to \infty$得到傅里叶变换，因为当$T\to \infty$时，由
$$c_k=\frac{1}{T}{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{e}^{-2\pi i(k/T)t}f(t)dt$$
计算的$c_k$趋于0
比如$f(t)$是一个只在[a,b]上不为0的函数，将其周期延$-\frac{T}{2}$到$\frac{T}{2}$包含[a,b]即可)
我们计算$$\begin{array}{rl}{c}_k& =\frac{1}{T}{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{e}^{-2\pi i(k/T)t}f(t)dt\\ & =\frac{1}{T}{\int }_a^b{e}^{-2\pi i(k/T)t}f(t)dt\end{array}$$
$$\begin{array}{rl}|c_k|& =\frac{1}{T}\left|{\int }_a^b{e}^{-2\pi i(k/T)t}f(t)dt\right|\\ & \le \frac{1}{T}{\int }_a^b\left|e^{-2\pi i(k/T)t}\right|\left|f(t)\right|dt\\ & \le \frac{1}{T}{\int }_a^b\left|f(t)\right|dt\\ & \le \frac{M}{T}\to 0\end{array}$$
这不能得到有用的结果，必须寻找其他途径

记线性算子$$\mathcal{F}f(\frac{k}{T})={\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{e}^{-2\pi i(k/T)t}f(t)dt$$
则$$f(t)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\mathcal{F}f(\frac{k}{T})e^{2\pi i(k/T)t}\frac{1}{T}$$
当$T\to \infty$时，$\frac{k}{T}$趋于连续，记为$s\in (-\infty ,\infty )$，则求和变成积分
$$\mathcal{F}f(s)={\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-2\pi ist}f(t)dt$$
$$f(t)={\int }_{-\infty }^{\infty }\mathcal{F}f(s)e^{2\pi ist}ds$$
我们需要知道积分的收敛问题。
傅里叶变换将$f(t)$分解为组成成分$e^{2\pi ist}$，逆变换则从组成成分合成原函数
$f(t)$定义在时域，$\mathcal{F}f(s)$定义在频域
信号都有一个频谱，频谱确定了信号

正逆变换
$$\begin{gathered} \mathcal{F}f(s)={\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-2\pi ist}f(t)dt \\ {\mathcal{F}}^{-1}g(t)={\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{2\pi ist}g(s)ds \end{gathered}$$

傅里叶 变换表明，对函数的傅里叶变换进行反变换得到原函数
$$\begin{gathered} {\mathcal{F}}^{-1}\mathcal{F}f=f \\ \mathcal{F}{\mathcal{F}}^{-1}g=g \end{gathered}$$
在0点处，傅里叶变换为函数的平均值
$$\mathcal{F}f(0)={\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{2\pi i0t}f(t)dt={\int }_{-\infty }^{\infty }f(t)dt$$
$${\mathcal{F}}^{-1}g(0)={\int }_{-\infty }^{\infty }g(s)ds$$

Examples:
矩形函数，或者叫$-\frac{1}{2}到\frac{1}{2}的特征函数$
$$\Pi (t)=\{\begin{array}{l}\begin{array}{rl}1& |t|<\frac{1}{2}\\ 0& |t|\ge \frac{1}{2}\end{array}\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}\mathcal{F}\Pi (s)& ={\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-2\pi ist}\Pi (t)dt\\ & ={\int }_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}{e}^{-2\pi ist}dt\\ & =\left[\frac{1}{-2\pi is}{e}^{-2\pi ist}\right]|{}_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}=\frac{-1}{2\pi is}{e}^{-\pi is}+\frac{1}{2\pi is}{e}^{\pi is}\\ & =\frac{1}{\pi s}\left(\frac{e^{\pi is}-e^{-\pi is}}{2i}\right)=\frac{\sin \pi s}{\pi s}\end{array}$$
最后这个函数就是sinc函数$sinc(s)=\frac{\sin \pi s}{\pi s}$
函数图像：

三角形函数

$$\Lambda (t)=\{\begin{array}{ll}1-|t|& |t|\le 1\\ 0& |t|\ge 1\end{array}$$
$$\begin{array}{rl}\mathcal{F}\Lambda (s)& ={\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-2\pi ist}\Lambda (t)dt\\ & ={\int }_{-1}^0{e}^{-2\pi ist}(1+t)dt+{\int }_0^1{e}^{-2\pi ist}(1-t)dt\\ & =\frac{{\sin }^2\pi s}{{\pi }^2{s}^2}=sin{c}^2(s)\end{array}$$

傅里叶变换符号

在不同的上下文和材料中，傅里叶的定义和符号是变化的（不是唯一的）
比如
$$\hat{f}(s)=\mathcal{F}f(s)$$
$$\check{f}(t)={\mathcal{F}}^{-1}f(t)$$
或者
$$f(t)，F(s)$$

有时候将正变换表示为（正负变换相调换）
$$\mathcal{F}f(s)={\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-2\pi ist}f(t)dt$$
有时候表示为
$$\mathcal{F}f(s)={\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{2\pi ist}f(t)dt$$

高斯函数

$$f(t)=e^{-\pi t^2}$$指数加$\pi$使得面积为1，则
$$\mathcal{F}f(s0=e^{-\pi s^2}$$
为本身。我们得到结论，高斯函数的傅里叶变换等于本身
证明：
$$F(s)={\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-2\pi ist}{e}^{-\pi t^2}dt$$
求微分
$$\begin{array}{rl}{F}^{\prime }(s)& ={\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{d}{ds}\left(e^{-2\pi ist}{e}^{-\pi t^2}\right)dt\\ & ={\int }_{-\infty }^{\infty }-2\pi it{e}^{-2\pi ist}{e}^{-\pi t^2}dt\\ & =i{\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-2\pi ist}(-2\pi t{e}^{-\pi t^2})dt\end{array}$$
分部积分
$$\begin{array}{rl}& =i{\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-2\pi ist}d{e}^{-\pi t^2}\\ & =i{e}^{-2\pi ist}{e}^{-\pi t^2}{|}_{-\infty }^{\infty }-i{\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-\pi t^2}d{e}^{-2\pi ist}\\ & =-{\int }_{-\infty }^{\infty }2\pi s{e}^{-\pi t^2}{e}^{-2\pi ist}dt\\ & =-2\pi s{\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-2\pi ist}{e}^{-\pi t^2}dt\\ & =-2\pi sF(s)\end{array}$$
于是我们得到等式
$$F^{\prime }(s)=-2\pi sF(s)$$

(这个ODE表明)$F(是）=F(0)e^{-\pi s^2}$
而$$F(0)={\int }_{-\infty }^{\infty }f(t)dt=1$$
故$$F(s)=e^{-\pi s^2}$$
证明完毕

对偶性（傅里叶变换的对偶性质）

根据定义有
$$\mathcal{F}f(-s)={\mathcal{F}}^{-1}f(s)$$
$$\mathcal{F}f(s)={\mathcal{F}}^{-1}f(-s)$$

定义$f^{-}(t)=f(-t)$(反转信号)，按照记号记$(\mathcal{F}f{)}^{-}(s)=\mathcal{F}f(-s)$(这是一个记号)，则按前面有
$$(\mathcal{F}f{)}^{-}={\mathcal{F}}^{-1}f$$
还有
$$\mathcal{F}(f^{-})={\mathcal{F}}^{-1}f$$
所以
$$(\mathcal{F}f{)}^{-}=\mathcal{F}(f^{-})={\mathcal{F}}^{-1}f$$
根据前面有
$$\mathcal{F}\mathcal{F}f=f^{-}$$
因为$\mathcal{F}\mathcal{F}f=\mathcal{F}{\mathcal{F}}^{-1}{f}^{-}=f^{-}$

例子：$sinc=\frac{\sin \pi t}{\pi t}$
根据对偶性质
$$\mathcal{F}sinc=\mathcal{F}\mathcal{F}\pi ={\pi }^{-}=\pi$$
如果直接按照定义求解积分，积分存在严重的收敛问题，难以计算
同样可以得到$$\mathcal{F}sin{c}^2=\Lambda$$

三个重要问题：时延(delays),时域尺度变换，卷积

时延：如果信号移动b，傅里叶变换会怎样
$$f(t)\leftrightarrow F(s)$$
$$f(t-b)\leftrightarrow ?$$

$$F(s)={\int }_{-\infty }^{\infty }-e^{-2\pi ist}f(t)dt$$

$$\begin{array}{rl}\mathcal{F}f(t-b)& ={\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-2\pi ist}f(t-b)dt\\ & ={\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-2\pi is(u+b)}f(u)du\\ & =e^{-2\pi isb}{\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-2\pi isu}f(u)du\\ & =e^{-2\pi isb}F(s)\end{array}$$
即(时延定理)，时域的位移导致频域的位移
$$\mathcal{F}\left(f(t\pm b)\right)(s)=e^{\pm 2\pi isb}F(s)$$
记(复数表示成幅度乘以角度)
$$F(s)=|F(s)|e^{2\pi i\theta (s)}$$
故
$$e^{-2\pi isb}F(s)=|F(s)|e^{2\pi i(\theta (s)-sb)}$$
时域的位移导致频域角度的变换，幅度不变
接下来是尺度变换
$$f(t)\leftrightarrow F(s)$$
$$f(at)\leftrightarrow ?$$

$$\mathcal{F}\left(f(at)\right)(s)={\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-2\pi ist}f(at)dt$$
$ifa>0$,令$u=at$
$$\begin{array}{rl}\mathcal{F}\left(f(at)\right)(s)& =\frac{1}{a}{\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-2\pi i(s/a)u}f(u)du\\ & =\frac{1}{a}{\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-2\pi i(s/a)u}f(u)du=\frac{1}{a}F(\frac{s}{a})\end{array}$$
$ifa<0$,令$u=at$
$$\mathcal{F}\left(f(at)\right)(s)=-\frac{1}{a}{\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-2\pi i(s/a)u}f(u)du=-\frac{1}{a}F(\frac{s}{a})$$
综上
$$\mathcal{F}\left(f(at)\right)(s)=\frac{1}{|a|}F(\frac{s}{a})$$
$$f(at)\leftrightarrow \frac{1}{|a|}F(\frac{s}{a})$$
这个结果说明，当$|a|>1$时，频谱被拉长了，而且变矮，$|a|<1$则相反
即时域压缩（伸长），则频域伸长（压缩）
Heisenberg测不准定理实际上也是依赖傅里叶变换证明，不能同事间压缩时域和频域，即不能同时知道位置和速度

卷积运算

关于怎样使用一个函数对另一个函数或信号进行调制，大部分情况下着手于改变信号的频谱
eg.线性和叠加性
$$\mathcal{F}(f+g)=\mathcal{F}(f)+\mathcal{F}(g)$$
通过改变频谱调制信号
如果是相乘呢
$$(\mathcal{F}g)(\mathcal{F}f)=\mathcal{F}(??f和g的某种组合？)$$
$$\begin{array}{rl}\mathcal{G}g(s)\mathcal{F}f(s)& ={\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-2\pi ist}g(t)dt{\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-2\pi isx}f(x)dx\\ & ={\int }_{-\infty }^{\infty }{\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-2\pi is(t+x)}g(t)f(x)dtdx\\ & ={\int }_{-\infty }^{\infty }\left({\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-2\pi is(t+x)}g(t)dt\right)f(x)dx\end{array}$$
令$u=t+x,du=dt,t=u-x$，的上式为
$${\int }_{-\infty }^{\infty }\left({\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-2\pi isu}g(u-x)du\right)f(x)dx$$
改变积分顺序
$${\int }_{-\infty }^{\infty }\left({\int }_{-\infty }^{\infty }g(u-x)f(x)dx\right)e^{-2\pi isu}du$$

定义$h(u)={\int }_{-\infty }^{\infty }g(u-x)f(x)dx$，上面就是
$${\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-2\pi isu}h(u)du=\mathcal{F}h(s)$$
即$$(\mathcal{F}g)(\mathcal{F}f)=\mathcal{F}h(s)$$
$h(u)$即称为$g$和$f$的卷积函数，定义$g$和$f$的卷积:
$$(g\ast f)(x)={\int }_{-\infty }^{\infty }g(x-y)f(y)dy$$
依照上面的卷积定理我们有
$$\mathcal{F}(g\ast f)=\mathcal{F}(g)\mathcal{F}(f)$$
Briggs, William L.Henson写的离散傅里叶手册中有很好的问题例子

eg.:浑浊度研究：与测量睡的清澈度有关，假如得到一张测量数据$T$。这个数据有很多的毛刺，我们需要去除掉这些毛刺，使之平滑。在频域进行处理，去掉高频的成分，方法是呈上一个矩形函数（也叫低通滤波）${\Pi }_{2V_c}(在-V_c和V_c之间为1，其他为0)$得到
$${\Pi }_{2V_c}\mathcal{F}T$$
转换到时域得
$$2V_{c}sinc(2V_{c}t)\ast T(t)$$
滤波通常（不总是）等同于卷积
在频域中（频域滤波）
$G(s)=F(s)H(s)$（$H(s)$为传递函数），设计滤波器就是设计一个$H$。
比较常见的事低通滤波器，高通滤波器和带通滤波器
在频域更容易理解滤波器而在时域中转换为卷积就没那么好理解
有时卷积并不容易计算，甚至不能显式表示，如
$${\int }_{-\infty }^{\infty }sinc(x-y)f(y)dy$$

有什么关于卷积更好的解释？ 有很多的解释
在很多情况下，卷积核滤波或平均相关
通常$f$和$g$的卷积比单独考虑$f,g$更好（更平滑），比如
$$\Pi \ast \Pi =\Lambda$$
左边不连续，右边连续
如果$f$可微$g$不可微，则$f\ast g$可微：$(f\ast g{)}^{\prime }=f^{\prime }\ast g$

怎样利用卷积求热方程??

首先
$$\mathcal{F}(f^{\prime })(s)=2\pi is\mathcal{F}f(s)$$
相似的
$$\mathcal{F}(f^{(n)})(s)=(2\pi is{)}^n\mathcal{F}f(s)$$
证明：
假设当$t\to \pm \infty ,f(t)\to 0$(一种特殊情形，一般要把函数限制在一个族里面，分析学专门讨论)
$$\begin{array}{rl}\mathcal{F}(f^{\prime })(s)& ={\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-2\pi ist}{f}^{\prime }(t)dt\\ & =e^{-2\pi ist}f(t){|}_{-\infty }^{\infty }+2\pi is{\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-2\pi ist}f(t)dt\\ & =0+2\pi is\mathcal{F}f(s)\end{array}$$
研究无限长实线热方程，$u(x,t),u(x,0)=f(x)$无限周期$u_t=\frac{1}{2}{u}_{xx}$
记$u(x,t)$关于$x$的傅里叶变换为$u(s,t)$，则
$$\begin{array}{rl}\mathcal{F}{u}_t& ={\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-2\pi isx}\frac{\partial u(x,t)}{\partial t}dx\\ & =\frac{\partial }{\partial t}\left({\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-2\pi isx}u(x,t)dx\right)\\ & =\frac{\partial }{\partial t}u(s,t)\end{array}$$
$$\mathcal{F}{u}_{xx}=(2\pi is{)}^{2}u(s,t)$$
联合上面，得到热方程为
$$\frac{\partial }{\partial t}u(s,t)=-2(\pi s{)}^{2}u(s,t)$$
这是一个普通的微分方程，解得
$$u(s,t)=u(s,0)e^{-2{\pi }^2{s}^{2}t}$$
$$u(s,0)={\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-2\pi isx}u(x,0)dx={\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-2\pi isx}f(x)=F(s)$$
所以
$$u(s,t)=F(s)e^{-2{\pi }^2{s}^{2}t}$$
由于
$$\mathcal{F}\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi t}}{e}^{-x^2/2t}\right)=e^{-2{\pi }^2{s}^{2}t}$$
故
$$u(x,t)=f(x)\ast \left(\frac{1}{\sqrt{2\pi t}}{e}^{-x^2/2t}\right)$$

卷积核中心极限定理(conbolution and the Central Limit Theorem,CLT)

CLT某种程度上阐述了一般钟形曲线的一般形式，也就是概率论中的高斯分布
大部分概率事件，可以看做可以按照钟形曲线进行计算和近似，或者说有高斯函数决定
$$p(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-x^2/2}$$
$$p(a\le measurement)\le b={\int }_a^b\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-x^2/2}dx$$
对矩形函数自身做一次卷积，得到一个三角形函数，做三次卷积则得到一个钟形（更平滑），做四个更平滑。令人惊叹(spooky)的是，不仅对矩形函数，对任意函数，自身卷积做若干次以后，将类似于一个钟形函数
建立：
$X$为随机变量，$x$为时机测量值，测量$x$如何分布$P_X(x)$,$P_{a,b}(a\le x\le b）={\int }_a^{b}p(x)dx$
$${\int }_{-\infty }^{\infty }p(x)dx=1,p(x)\ge 0$$
怎么和卷积联系起来
假设$x_1,x_2$是独立随机变量$p_1(x_1),p_2(x_2),x_1+x_2$的分布为$p_1\ast p_2$(利用积分变量替换即可得到)
同样可以得到
$$p(x_1+\cdots +x_n)=p_1\ast p_2\ast \cdots \ast p_n$$
CLT建立过程
设$x_1,\cdots ,x_n$是独立同分布随机变量(iid)，记为p(均值为0，方差为1）
即
$${\int }_{-\infty }^{\infty }xp(x)dx=0$$
$${\int }_{-\infty }^{\infty }{x}^{2}p(x)dx=1$$
$${\int }_{-\infty }^{\infty }p(x)dx=1$$
$S_n=x_1+\cdots +x_n$，则 ,$\mathbb{E}(S_n)=0,\sqrt{\mathbb{E}(S_n^2)}=\sqrt{n}$(标准差)
故，$\frac{S_n}{\sqrt{n}}$方差为1
CLT：当$n\to \infty$时，
$$\underset{n\to \infty }{\lim }prob(a\le \frac{S_n}{\sqrt{n}}\le b)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_a^b{e}^{-x^2/2}dx$$
非积分形式：如果$P_n(x)$为$\frac{S_n}{\sqrt{n}}$的分布，则当$n\to \infty$时，
$$P_n(x)\to \frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-x^2/2}$$

因为$x_1+\cdots +x_n$的分布为$p^{\ast n}(x)=(\underset{n个}{p\ast \cdots \ast p})$，则
$\frac{x_1+\cdots +x_n}{\sqrt{n}}$的分布为$\sqrt{n}{p}^{\ast n}(\sqrt{n}x)$. $(x分布为p(x),则ax的分布为\frac{1}{a}p(\frac{x}{a})$

$$\begin{array}{rl}Pr(aX\le x)& =Pr(X\le \frac{x}{a})={\int }_{-\infty }^{}p(t)dt\\ & ={\int }_{-\infty }^{x}p\left(\frac{t}{a}\right)d\frac{t}{a}=\frac{1}{a}{\int }_{-\infty }^{x}p\left(\frac{t}{a}\right)dt\end{array}$$

做傅里叶变换$$\begin{array}{rl}\mathcal{F}(p_n(x))& =\sqrt{n}\mathcal{F}\left(p^{\ast n}(\sqrt{n}x)\right)\\ & =\sqrt{n}\ast \frac{1}{\sqrt{n}}\mathcal{F}\left(p^{\ast n}\right)\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)\\ & =(\mathcal{F}p{)}^n\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)\\ & ={\left(\mathcal{F}p\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)\right)}^n\end{array}$$
使用泰勒级数（展开）$(e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\cdots )$
$$\begin{array}{rl}\mathcal{F}p\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)& ={\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-2\pi i(s/\sqrt{n})x}p(x)dx\\ & ={\int }_{-\infty }^{\infty }\left(1-\frac{2\pi isx}{\sqrt{n}}-\frac{1}{2}{\left(\frac{2\pi isx}{\sqrt{n}}\right)}^2+\cdots \right)p(x)dx\\ & =\underset{=1}{{\int }_{-\infty }^{\infty }p(x)dx}-\frac{2\pi is}{\sqrt{n}}\underset{=0}{{\int }_{-\infty }^{\infty }xp(x)dx}-\frac{2{\pi }^2{s}^2}{n}\underset{=1}{{\int }_{-\infty }^{\infty }{x}^{2}p(x)dx}+\cdots \\ & =1-\frac{2{\pi }^2{s}^2}{n}+\epsilon \approx 1-\frac{2{\pi }^2{s}^2}{n}\end{array}$$
所以
$${\left(\mathcal{F}p\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)\right)}^n\approx {\left(1-\frac{2{\pi }^2{s}^2}{n}\right)}^n$$
当$n\to +\infty$,${\left(1-\frac{2{\pi }^2{s}^2}{n}\right)}^n⟶e^{-2{\pi }^2{s}^2}$
利用傅里叶反变换，饿到原分布密度为
$$p_n(x)\approx \frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-x^2/2}$$

讨论积分收敛问题

需要傅里叶变换的更严谨的定义才能处理一般信号。如果积分不收敛，怎么利用傅里叶变换
两种方式处理这种情况
1.一种是使用特定方法(ad hot)
2.重新研究基础，给出一个另外的定义
第一个例子: $f(t)=\Pi (t)$积分收敛可以进行傅里叶变换，然而问题出现在反变换上${\mathcal{F}}^{-1}sinc=\Pi$
$${\mathcal{F}}^{-1}sinc={\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{2\pi ist}\frac{\sin \pi s}{\pi s}ds=\{\begin{array}{ll}1,& |s|<\frac{1}{2}\\ 0,& |s|>\frac{1}{2}\end{array}$$
（无法用简单积分算出，需要用一些技巧）
在边界上即不连续点上$s=\pm \frac{1}{2}$有些问题，收敛于$\frac{1}{2}$而不是0或者1
第二个例子中，$f(t)=1$,傅里叶积分是无意义的
$${\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-2\pi ist}dt=\frac{1}{-2\pi is}{e}^{-2\pi ist}{|}_{-\infty }^{\infty }=0$$
例子3：$f(t)=\sin (2\pi t),g(t)=\cos (2\pi t)$

$${\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-2\pi ist}\sin (2\pi t)dt$$
是无法收敛的。对于等等这些情况，我们必须重新定义收敛的问题
怎样选取基本现象来啊研究其他一切现象
1940年代解决了这个问题。退一步，最好的情形是什么（定义为$s$，Schwarz）
我们需要两个性质：
1.如果$f\in s$,那么$\mathcal{F}\in s$
2.傅里叶由方程定义
$$\mathcal{F}{\mathcal{F}}^{-1}f=f$$
更进一步的性质（Parseval等式Rayleigh 等式）
$${\int }_{-\infty }^{\infty }|g(s){|}^{2}ds={\int }_{-\infty }^{\infty }|f(t){|}^{2}dt$$
怎样定义$s$（Laurent Schwartz找到了这个类）:s指的就是这类速降函数
$$\{\begin{array}{l}f(x)为光滑函数\\ 对任意m,n\ge 0,当x\to \pm \infty ,|x{|}^n|\frac{d^m}{d{x}^m}f(x)|\to 0\end{array}$$
即递降速度非常快，比$x^n$快. 存在这样的函数吗
$$\{\begin{array}{l}f(x)=e^{-\pi x^2}就是这样的函数\\ 在一个区间外全为0的光滑函数（紧支集光滑函数）\end{array}$$
这是从导数定理中来的
$$\mathcal{F}(f^{(m)})(s)=(2\pi is{)}^m\mathcal{F}f(s)$$
这表明可微性和递降速率的关系
Parseval等式适用于s函数，适用于不涉及收敛问题的函数
$${\int }_{-\infty }^{\infty }|\mathcal{F}(f)(s){|}^{2}ds={\int }_{-\infty }^{\infty }|f(t){|}^{2}dt$$
下面证明一个更一般的等式
$${\int }_{-\infty }^{\infty }\mathcal{F}f(s)\overline{\mathcal{F}g(s)}ds={\int }_{-\infty }^{\infty }f(t)\overline{g(t)}dt$$
令$g(t)={\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{2\pi ist}\mathcal{F}g(s)ds$,即$g(t)={\mathcal{F}}^{-1}\mathcal{F}g$
两边取共轭，将共轭算子放进积分中
$$\overline{g(t)}={\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-2\pi ist}\overline{\mathcal{F}g(s)}ds$$
故
$$\begin{array}{rl}{\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)\overline{g(t)}dt& ={\int }_{-\infty }^{\infty }f(t)\left({\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-2\pi ist}\overline{\mathcal{F}g(s)}ds\right)dt\\ & ={\int }_{-\infty }^{\infty }\overline{\mathcal{F}g(s)}\left({\int }_{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-2\pi ist}dt\right)ds\\ & ={\int }_{-\infty }^{\infty }\mathcal{F}f(s)\overline{\mathcal{F}g(s)}ds\end{array}$$

傅里叶变换扩展（重新定义傅里叶变换，广义傅里叶变换）

傅里叶变换的最佳集合，速降函数集合s
为什么这个对于傅里叶变幻时最佳的
$\Pi \notin s,\Lambda ,\sin ,\cos ,sinc\notin s,常数c\notin s$，许多常见的函数都不属于$s$,怎么办，必须采取一条特别的路，那就是广义函数（也称为分布）
脉冲函数$\delta$(单独考虑是没有意义的)
通常定义$\delta$为
$$\begin{gathered} \delta (0)=0,x̸=0 \\ \delta (0)=\infty \end{gathered}$$
$${\int }_{-\infty }^{\infty }\delta (x)dx=1$$
$${\int }_{-\infty }^{\infty }\delta (0)\phi (x)dx=\phi (0)$$
上面的定义完全是垃圾。
δ \delta