一般图最大匹配-带花树算法

一般图最大匹配-带花树算法

前置知识:
二分图最大匹配
问题
对于一个图G(V,E),它的匹配M是二元组(u,v)组成的集合,其中u,v∈V,(u,v)∈E,并且M中不存在重复的点。

当|M|最大的时候,我们称M为G的最大匹配。

当G是一个二分图的时候,它的最大匹配可以用经典的匈牙利算法或网络流算法求解。然而当G是一个一般的图时,直接进行增广就变得不可行了,例如下面这个例子:

一般图最大匹配-带花树算法_第1张图片

这个问题出现的原因,就是一个一般图中会含有奇环,即一个点数为2k+1,k>0的环,而如果经过一个奇环,那么会得到两条含有同一个点的匹配边,这其实是不符合定义的。那为什么二分图可以直接增广呢?因为二分图中不可能含有奇环,它所有的环都是偶环。因此,在一般图匹配问题中,我们需要一种改进算法来解决奇环的问题。

算法
基本算法依然是分为n个阶段寻找增广路。问题主要在奇环上,那么我们分析一下这个奇环的性质。首先,奇环中有2k+1个点,所以最多有k组匹配。这就是说,有一个点没有匹配,即这个点在环内两边的连边都不是匹配边,也只有这个点可以向环外连边。

发现了这个性质,我们可以把整个奇环缩成一个点。缩完点后的图如果可以找到一条增广路,那么原图中也可以找到一条增广路,因为如果增广路经过奇环那么奇环内的增广路可以还原出来。

这就是带花树算法的思想。整个求解过程分为n个阶段,每个阶段从没有匹配的s点开始bfs找增广路。搜索的开始,把s点加入队列中,标记它为A类点。如果从x点出发,搜索到了一个未标记的点,有两种情况。如果这个未标记点有匹配,那么把这个点设为B类点,它的匹配点设为A类点,加入队列继续增广。如果这个点没有匹配,又因为我们是从一个未匹配点开始进行搜索的,所以这说明我们找到了一条增广路,沿着过来的边找回去,展开带花树,修改搜索的过程中,如果我们遇到了偶环,那么不管它,因为它不会影响求解。如果遇到了一个奇环,那么我们找到当前点x和找到的点v,求出他们的最近公共花祖先,然后把环缩掉。这里我们用并查集实现。

我们在缩环的时候,处理出一个pre数组,表示我们回跳的时候走到这里该往哪一个方向走回去。回跳的时候,每次找到pre,然后修改这条边,接着跳到pre原来的match处。如果我们倒着进入一个花的时候,上方的边为非匹配边,那么我们会往下走,这个时候pre就应该往下设。中间相遇的位置pre互相连接,pre[x]=y,pre[y]=x。

算法分为n个阶段,每个阶段最多把整个图遍历一次,每个点会最多被缩n次花,所以总复杂度为O(n3)。
模板 —— 来自kuangbin

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#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;
const int MAXN = 50;
int N; //点的个数,点的编号从1到N
bool Graph[MAXN][MAXN];
int Match[MAXN];
bool InQueue[MAXN],InPath[MAXN],InBlossom[MAXN];
int Head,Tail;
int Queue[MAXN];
int Start,Finish;
int NewBase;
int Father[MAXN],Base[MAXN];
int Count;
void Push(int u)
{
    Queue[Tail] = u;
    Tail++;
    InQueue[u] = true;
}
int Pop()
{
    int res = Queue[Head];
    Head++;
    return res;
}
int FindCommonAncestor(int u,int v)
{
    memset(InPath,false,sizeof(InPath));
    while(true)
    {
        u = Base[u];
        InPath[u] = true;
        if(u == Start) break;
        u = Father[Match[u]];
    }
    while(true)
    {
        v = Base[v];
        if(InPath[v])break;
        v = Father[Match[v]];
    }
    return v;
}
void ResetTrace(int u)
{
    int v;
    while(Base[u] != NewBase)
    {
        v = Match[u];
        InBlossom[Base[u]] = InBlossom[Base[v]] = true;
        u = Father[v];
        if(Base[u] != NewBase) Father[u] = v;
    }
}
void BloosomContract(int u,int v)
{
    NewBase = FindCommonAncestor(u,v);
    memset(InBlossom,false,sizeof(InBlossom));
    ResetTrace(u);
    ResetTrace(v);
    if(Base[u] != NewBase) Father[u] = v;
    if(Base[v] != NewBase) Father[v] = u;
    for(int tu = 1; tu <= N; tu++)
        if(InBlossom[Base[tu]])
        {
            Base[tu] = NewBase;
            if(!InQueue[tu]) Push(tu);
        }
}
void FindAugmentingPath()
{
    memset(InQueue,false,sizeof(InQueue));
    memset(Father,0,sizeof(Father));
    for(int i = 1;i <= N;i++)
        Base[i] = i;
    Head = Tail = 1;
    Push(Start);
    Finish = 0;
    while(Head < Tail)
    {
        int u = Pop();
        for(int v = 1; v <= N; v++)
            if(Graph[u][v] && (Base[u] != Base[v]) && (Match[u] != v))
            {
                if((v == Start) || ((Match[v] > 0) && Father[Match[v]] > 0))
                    BloosomContract(u,v);
                else if(Father[v] == 0)
                {
                    Father[v] = u;
                    if(Match[v] > 0)
                        Push(Match[v]);
                    else
                    {
                        Finish = v;
                        return;
                    }
                }
            }
    }
}
void AugmentPath()
{
    int u,v,w;
    u = Finish;
    while(u > 0)
    {
        v = Father[u];
        w = Match[v];
        Match[v] = u;
        Match[u] = v;
        u = w;
    }
}
void Edmonds()
{
    memset(Match,0,sizeof(Match));
    for(int u = 1; u <= N; u++)
        if(Match[u] == 0)
        {
            Start = u;
            FindAugmentingPath();
            if(Finish > 0)AugmentPath();
        }
}
int getMatch()
{
    Edmonds();
    Count = 0;
    for(int u = 1; u <= N;u++)
        if(Match[u] > 0)
            Count++;
    return Count/2;
}
 
bool g[MAXN][MAXN];
pair<int,int>p[150];
int main()
{
    //freopen("in.txt","r",stdin);
    //freopen("out.txt","w",stdout);
    int m;
    while(scanf("%d%d",&N,&m)==2)
    {
        memset(g,false,sizeof(g));
        memset(Graph,false,sizeof(Graph));
        int u,v;
        for(int i = 1;i <= m;i++)
        {
            scanf("%d%d",&u,&v);
            p[i] = make_pair(u,v);
            g[u][v] = true;
            g[v][u] = true;
            Graph[u][v] = true;
            Graph[v][u] = true;
        }
        int cnt0 = getMatch();
        //cout<
        vector<int>ans;
        for(int i = 1;i <= m;i++)
        {
            u = p[i].first;
            v = p[i].second;
            memcpy(Graph,g,sizeof(g));
            for(int j = 1;j <= N;j++)
                Graph[j][u] = Graph[u][j] = Graph[j][v] = Graph[v][j] = false;
            int cnt = getMatch();
            //cout<
            if(cnt < cnt0-1)
                ans.push_back(i);
        }
        int sz = ans.size();
        printf("%d\n",sz);
        for(int i = 0;i < sz;i++)
        {
            printf("%d",ans[i]);
            if(i < sz-1)printf(" ");
        }
        printf("\n");
    }
    return 0;
}

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