[图形学] B样条曲线 - 原理和C++实现的演示程序（附源码）

         大二的时候，曾受老师所托，用C++而不是OpenGL去写B样条曲线的教学程序。时隔一年，发现源码找不见了，所以重新写了一遍，也完善了部分功能，顺便发一篇博客分享一下。

        这里给出的资源有：两个打包程序、最新版本的源代码。

下载链接：（使用时请注明出处哦~~ ）

        1.  （新版本）源代码：http://download.csdn.net/detail/mahabharata_/9841652

        2.  （新版本）演示程序：http://download.csdn.net/detail/mahabharata_/9841677

        3.  （旧版本）演示程序：http://download.csdn.net/detail/mahabharata_/9814823

程序的截图如下：

说明：  两个版本都是使用纯Qt实现的，没有使用OpenGL所以非常方便阅读。如需要使用win32、MFC等框架编写，也只需在此基础上做简单的修改。

功能：

      1. 鼠标左键可以添加新控制点，也可以选中并拖动已有的控制点。

      2. 支持1次、2次、3次的B-Spline曲线（即2阶、3阶、4阶）

      3. 可以选择是否显示曲线上关键结点的位置和标号，以及控制点的标号。

      4. Backspace删除末端控制点，C键清屏。

B样条曲线的相关知识：

      定义：给定n+1个控制点{P0、P1、......、Pn}，每个控制点都有对应的一个基函数Ni,p(u)，其中u为自变量，i为第i个结点，p为曲线的次数（次数=阶数-1），则可以用下式来定义B样条曲线：

                

     （定义域： p≤ u ≤ n+1，事实上定义域的上限取多少无所谓）

      根据定义，可以发现B样条曲线上的每一个点其实是：所有控制点的一个加权平均。这里的“权”由基函数Ni,p(u)确定。随着u从下限p逐渐增长，控制点对应的基函数的取值也会随之变化，从而产生曲线上新的点。

关于基函数Ni,p(u)，可以由Cox-de Boor公式得出。这里给出三个简单的基函数的示例：

（1）当曲线次数p=1时，基函数Ni,1(u)为：

（2）当曲线次数p=2时，基函数Ni,2(u)为：

（3）当曲线次数p=3时，基函数Ni,3(u)为：