第五讲：一元函数微分学的几何应用

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极值点的判别

如果$x_0$是极值点且可导，必有$f^{{}^{\prime }}(x_0)=0$。
三个可以证明$x_0$是极值点的充分条件。

• $x_0$点连续，去心（该点可以不可导）邻域可导，且左右邻域导数异号。
• $x_0$点二阶可导，且$f^{{}^{\prime }}(x_0)=0,f^{{}^{\prime \prime }}(x_0)!=0$
• n为偶数，$x_0$点n阶可导,且前n-1阶导数都得0.$f^n(x_0)<0,x_0$为极大值点。例子：$y=x^2$,x=0为极小值点。

拐点的判别

拐点：凹弧凸弧相接的点,注意拐点的写法$(x_0,f(x_0))$.
如果$x_0$是拐点且可导，必有$f^{{}^{\prime \prime }}(x_0)=0$。
三个可以证明$x_0$是拐点的充分条件。

• $x_0$点连续，去心（该点可以不可导）邻域可二阶导，且左右邻域二阶导数异号。
• $x_0$点二阶可导，且$f^{{}^{\prime \prime }}(x_0)=0,f^{{}^{\prime \prime \prime }}(x_0)!=0$
• n为奇数，$x_0$点n阶可导,且前n-1阶导数都得0.$x_0$为拐点。
  例子：$y=x^3，(0,x^3)$为拐点。

单调性与凹凸性

二阶导数凹正(兜东西)凸负(掉东西)，其余略。

渐进线

函数可以同时有以下三种渐近线。

• 铅垂
  $li{m}_{x->x_0}f(x)=\infty$(两个方向都要算) ==>$x=x_0$
• 水平
  $li{m}_{x->\infty }f(x)=A$(两个方向都要算) ==>$y=A$
• 斜
  $li{m}_{x->\infty }\frac{f(x)}{x}=k$(k为渐近线斜率,两个方向都要算,观察这个式子发现，比x增速度更快的函数都不会有渐近线) 。
  渐近线截距的计算：用极限的七种未定式的技巧计算,$li{m}_{x->\infty }(\frac{f(x)}{x}-kx)=d$

作图

一般步骤：

• 求一阶二阶导数
• 找出空点(无定义点)
• $f^{{}^{\prime }}(x)=0$的点（驻点，该点不一定为极值点，验算左右邻域的符号来判断判断）
• $f^{{}^{\prime }}(x)$不存在点(不可导点)
• $f^{{}^{\prime \prime }}(x)=0$的点（同理，该点不一定为拐点）
• $f^{{}^{\prime }‘}(x)$不存在点
  然后根据所求得的数据制作大致表格，依据表格画图。

x	x的取值范围划分（根据所求得的点划分定义域）
y’	f(x)在该区间的单调性
y‘’	f(x)在该区间的凹凸性
y	f(x)在该区间的函数值

• 例题:作$f(x)=(2+x)e^{\frac{1}{x}}$的图像。
  具体题解见（P80，题1.5.11）
  
• 拓展
  1.如有问f(x)=A有几个解，作图解答时，要注意相交于空点不算一个解。
  2.穿针引线法作图
  例子：$f(x)=(x-1)(x-2{)}^2(x-3{)}^3(x-4{)}^4$的图像，从数轴的右上方(n个正数相乘，所以是正上方)开始‘穿针’，奇穿偶不穿(奇偶指幂,穿数轴)