树状数组

树状数组是一个查询和修改复杂度都为log(n)的数据结构。主要用于查询任意两位之间的所有元素之和，但是每次只能修改一个元素的值；经过简单修改可以在log(n)的复杂度下进行范围修改，但是这时只能查询其中一个元素的值。

查询操作（前缀和查询）

经过推导最后得到的公式：S[i]= S[i-lowbit(i)] + C[i]
其中S[i]是前i项的和，lowbit(i)代表i这个数字，二进制表示的最后一位1的位权，lowbit(x) = x & (-x)。C[i]代表i项的前lowbit(i)项的和（含第i项）。
例如：S[7] = S[7-lowbit(7)] + C[7] = S[6] + C[7] = S[6-lowbit(6)] + C[7] = S[4] + C[6] + C[7] = S[4-lowbit(4) ] + C[6] + C[7] = C[4] + C[6] + C[7]

更新操作（单点修改）

经过推导最后得到的公式：A[j] 发生变化时，当修改完C[j]，下一个应该修改C[j+lowbit(j)]
其中A[j]代表要修改的元素
例如：更新原数组A[5]的值，那么需要更新：C[5],C[5+lowbit(5)] = C[6]之后再更新:C[6],C[6+lowbit(6)] = C[8]。

模板

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;
#define MAX_N 1000
int lowbit(int x) {
    return ((x) & (-x));
    }
int c[MAX_N + 5] = {0};

void add(int i, int val, int n) {
    while (i <= n) {
        c[i] += val;
        i += lowbit(i);
        }
    return ;
}

int S(int i) {
    int sum = 0;
    while (i) sum += c[i], i -= lowbit(i);
    return sum;
}

int main() {
    int n, a;
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> a;
        cout << S(a) << endl;
        add(a, 1, n);
    }
    return 0;
}

例题

328. 楼兰图腾

#include 
using namespace std;
#define MAX_N 200000
long long c[MAX_N + 5], arr[MAX_N + 5];
#define lowbit(x) ((x) & (-x))
void add(long long i, long long val, long long n) {
    while (i <= n) c[i] += val, i += lowbit(i);
}

long long S(long long x) {
    long long sum = 0;
    while (x > 0) sum += c[x], x -= lowbit(x);
    return sum;
}

int main() {
    long long n, ansless = 0, ansbig = 0,front_less,behind_less,behind_more,front_more;
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> arr[i];
        front_less = S(arr[i]); //前面比arr[i]小的
        behind_less = arr[i] - 1 - front_less;//后面比arr[i]小的
        front_more = i - 1 - front_less;
        behind_more = n - arr[i] - front_more;
        add(arr[i], 1, n);
        ansless += front_less * behind_less;
        ansbig += front_more * behind_more;
    }
    cout << ansbig << " " << ansless;
    return 0;
}