[LeetCode]64. Minimum Path Sum最小路径和（C++语言版）

Given a m x n grid filled with non-negative numbers, find a path from top left to bottom right which minimizes the sum of all numbers along its path.

Note: You can only move either down or right at any point in time.

Example:

Input:
[
  [1,3,1],
  [1,5,1],
  [4,2,1]
]
Output: 7
Explanation: Because the path 1→3→1→1→1 minimizes the sum.

给定一个（m*n）的网格，其中填充非负数，寻找一条从左上角到右下角的路径，使沿路径上的所有数字的总和最小。

这是一个典型的动态规划问题，假设到达点（i，j）的最小路径和为S[i][j]，那么S[i][j] = min(S[i][j-1],S[i-1][j])+grid[i][j] 

S[i][j-1]表示到达点(i,j-1) （这个点位于(i,j)的左边）的最小路径和

S[i-1][j]表示到达点(i-1,j) （这个点位于(i,j)的上方）的最小路径和

一些边界条件需要处理。边界条件发生在最顶行（S [i -1] [j]不存在），最左边的列（S [i] [j - 1]不存在）

class Solution {
public:
	int minPathSum(vector>& grid) {
		int m = grid.size();   //表示共有多少行
		int n = grid[0].size();//表示共有多少列
		vector > sum(m, vector(n, grid[0][0]));
		//创建了一个名为sum的矩阵（m行，n列，每个值都是 grid[0][0]）
		for (int i = 1; i < m; i++)
			sum[i][0] = sum[i - 1][0] + grid[i][0];
		//sum的第一列求出

		for (int j = 1; j < n; j++)
			sum[0][j] = sum[0][j - 1] + grid[0][j];
		//sum的第一行求出

		for (int i = 1; i < m; i++)
			for (int j = 1; j < n; j++)
				sum[i][j] = min(sum[i - 1][j], sum[i][j - 1]) + grid[i][j];

		return sum[m - 1][n - 1];
	}
};

for (int i = 1; i < m; i++)
			sum[i][0] = sum[i - 1][0] + grid[i][0];
		//sum的第一列求出

求出最小路径和的第一列：

[                                                                            [ 
  [1,3,1],                                                                  [1,1,1],
  [1,5,1],  以这个矩阵为例 for循环之心发完毕后为： [2,1,1], 
  [4,2,1]                                                                   [6,1,1]

]                                                                            ]                       

for (int j = 1; j < n; j++)
			sum[0][j] = sum[0][j - 1] + grid[0][j];
		//sum的第一行求出

求出最小路径和的第一行：

[                                                                            [ 
  [1,1,1],                                                                  [1,4,5],
  [2,1,1],   以这个矩阵为例 for循环之心发完毕后为：[2,1,1], 

  [6,1,1]                                                                   [6,1,1]

]                                                                            ]     

sum[1][1] = min(sum[0][1],sum[1][0]) + grid[1][1] = min(4,2) + 5 = 2 + 5 =7

sum[1][2] = min(sum[0][2],sum[1][1]) + grid[1][2] = min(5,7) + 1 = 5 + 1 =6

sum[2][1] = min(sum[1][1],sum[2][0]) + grid[2][1] = min(7,6) + 2 = 6 + 2 =8

sum[2][2] = min(sum[1][2],sum[2][1]) + grid[2][2] = min(6,8) + 1 = 6 + 1 =8

            [
                [1,4,5],
sum =      [2,7,6],
                [6,8,7]
            ]

     

（待续……）