求中位数，快速选择算法

实验五    输油管道问题的设计与实现

[实验目的]

1、掌握分治算法的基本原理

2、利用分治策略编程解决输油管道问题

[实验内容]

问题描述

某石油公司计划建造一条由东向西的主输油管道。该管道要穿过一个有n 口油井的油田。从每口油井都要有一条输油管道沿最短路经(或南或北)与主管道相连。如果给定n 口油井的位置，即它们的x 坐标（东西向）和y 坐标（南北向），应如何确定主管道的最优位置， 即使各油井到主管道之间的输油管道长度总和最小的位置？

1.请给出分析与解答；

2.给出代码和运行结果；

3.估算算法的时间复杂度。

关于确定主管道的最优位置：由于主管道是由东向西，则主管道的铺设位置只和各油井位置的y坐标有关，要求的最优主管道的位置y坐标应是各个油井y坐标的中位数。

反证法证明之：

油井数目为奇数：假设主管道的最优位置ｙ坐标值为y_ave,不是各个油井位置ｙ坐标的中位数y_mid，我们可以假设y_ave>y_mid，ｙ坐标小于y_ave的油井数目为m,ｙ坐标大于y_ave的油井数目为n，显然有m>n。当我们将主管道位置下移距离x时(假设此时仍满足y_ave>=y_mid)，各油井到主管道之间的输油管道长度总和应增加nx-mx，显然nx-mx<0(m>n)，即存在一个比_ave更优的位置使得各油井到主管道之间的输油管道长度总和更小，这与假设矛盾。当y_ave>y_mid时，同理可证。

油井数目为偶数时：同理可证 。

分析：于是此题就转化为了求中位数，关于求中位数，可以先排序，然后中间那个就是所求，但是为了体现分治的思想，同时追求更高的效率，于是本次用随机选择算法，随机选择算法和快速排序有点像。

随机选择算法求中位数：如果是奇数个点，就是中间那个，如果是偶数个点，下面代码求的是中间靠左的那个数，当然油田放在中间靠右的那个也可以，各油井到主管道之间的输油管道长度总和是一样的，随机选择算法和快排差不多，先让第一个数找到对应的位置，比它小的放左边，比它大的放它右边，然后如果被排序的位置是中位数，则返回之，如果中位数的位置小于这个位置，就对左区域进行随机选择算法，反之则对右区域进行随机选择算法。

源代码：

#include

#include

using namespace std;

struct point

{

    int x,y;//存储油田坐标信息

} a[1000];

int exquick(point *a,int left,int right,int n)

{

    int ll=left,rr=right,y=a[left].y;

    while(ll

    {

        while(ll=y) rr--;

        a[ll]=a[rr];

        while(ll

        a[rr]=a[ll];

    }

    if(ll==(n-1)/2) return y;//如果是中位数，则返回之

    if(ll>(n-1)/2) return exquick(a,left,ll-1,n);//如果中位数在它的左边，则在左区域寻找

    return exquick(a,ll+1,right,n); //反之，在右区域寻找

}

int main()

{

    int n,t,ans;//n为油田个数

    cout<<"请输入油田个数：";

    cin>>n;

    for(int i=0; i

    {

        cout<<"请输入油田坐标：";

        cin>>a[i].x>>a[i].y;

    }

    cout<<"最优位置为：y="<

    return 0;

}

测试数据1：

5

1 2

2 2

1 3

3 -2

3 3

运行结果截图：

测试数据2：

6
1 6
2 -2
1 3
3 -2
3 3
1 1

运行结果截图：

时杂度分析：该算法的时间复杂度为O(n).